直観主義
Intuitionism
☆ このページは「直観」のなかの「直観主義」 からスピンオフしたものである。☆ 直感（intuition）とは、意識的な推論に頼ることなく、また説明を必要とすることなく、知識を獲得する能力のことである。無意識の知識への直接ア クセス、無意識の認識、 直感、内なる感覚、無意識のパターン認識への内なる洞察、意識的な推論を必要とせずに本能的に何かを理解する能力など、さまざまな分野で「直感」という言 葉が非常に異なる意味で使われているが、これらに限定されるものではない。ｓ
★数
学哲学（数理哲学）において、直観主義、または新直観主義（前直観主義とは対照的）とは、数学が客観的現実に存在すると主張される基本原理の発見ではな
く、純粋に人間の建設的な精神活動の結果であると考えられるアプローチである[1]。すなわち、論理学と数学は、客観的現実の深い特性が明らかにされ、適
用される分析的活動とはみなされず、その代わりに、客観的現実に独立した存在である可能性にかかわらず、より複雑な精神的構成を実現するために使用される
内部的に一貫性のある方法の適用とみなされる
| Intuitionism In the philosophy of mathematics, intuitionism, or neointuitionism (opposed to preintuitionism), is an approach where mathematics is considered to be purely the result of the constructive mental activity of humans rather than the discovery of fundamental principles claimed to exist in an objective reality.[1] That is, logic and mathematics are not considered analytic activities wherein deep properties of objective reality are revealed and applied, but are instead considered the application of internally consistent methods used to realize more complex mental constructs, regardless of their possible independent existence in an objective reality. |
直観主義 数学哲学（数理哲学）において、直観主義、または新直観主義（前直観主義とは対照的）とは、数学が客観的現実に存在すると主張される基本原理の発見ではな く、純粋に人間の建設的な精神活動の結果であると考えられるアプローチである[1]。すなわち、論理学と数学は、客観的現実の深い特性が明らかにされ、適 用される分析的活動とはみなされず、その代わりに、客観的現実に独立した存在である可能性にかかわらず、より複雑な精神的構成を実現するために使用される 内部的に一貫性のある方法の適用とみなされる。 |
| Truth and proof The fundamental distinguishing characteristic of intuitionism is its interpretation of what it means for a mathematical statement to be true. In Brouwer's original intuitionism, the truth of a mathematical statement is a subjective claim: a mathematical statement corresponds to a mental construction, and a mathematician can assert the truth of a statement only by verifying the validity of that construction by intuition. The vagueness of the intuitionistic notion of truth often leads to misinterpretations about its meaning. Kleene formally defined intuitionistic truth from a realist position, yet Brouwer would likely reject this formalization as meaningless, given his rejection of the realist/Platonist position. Intuitionistic truth therefore remains somewhat ill-defined. However, because the intuitionistic notion of truth is more restrictive than that of classical mathematics, the intuitionist must reject some assumptions of classical logic to ensure that everything they prove is in fact intuitionistically true. This gives rise to intuitionistic logic. To an intuitionist, the claim that an object with certain properties exists is a claim that an object with those properties can be constructed. Any mathematical object is considered to be a product of a construction of a mind, and therefore, the existence of an object is equivalent to the possibility of its construction. This contrasts with the classical approach, which states that the existence of an entity can be proved by refuting its non-existence. For the intuitionist, this is not valid; the refutation of the non-existence does not mean that it is possible to find a construction for the putative object, as is required in order to assert its existence. As such, intuitionism is a variety of mathematical constructivism; but it is not the only kind. The interpretation of negation is different in intuitionist logic than in classical logic. In classical logic, the negation of a statement asserts that the statement is false; to an intuitionist, it means the statement is refutable.[2] There is thus an asymmetry between a positive and negative statement in intuitionism. If a statement P is provable, then P certainly cannot be refutable. But even if it can be shown that P cannot be refuted, this does not constitute a proof of P. Thus P is a stronger statement than not-not-P. Similarly, to assert that A or B holds, to an intuitionist, is to claim that either A or B can be proved. In particular, the law of excluded middle, "A or not A", is not accepted as a valid principle. For example, if A is some mathematical statement that an intuitionist has not yet proved or disproved, then that intuitionist will not assert the truth of "A or not A". However, the intuitionist will accept that "A and not A" cannot be true. Thus the connectives "and" and "or" of intuitionistic logic do not satisfy de Morgan's laws as they do in classical logic. Intuitionistic logic substitutes constructability for abstract truth and is associated with a transition from the proof of model theory to abstract truth in modern mathematics. The logical calculus preserves justification, rather than truth, across transformations yielding derived propositions. It has been taken as giving philosophical support to several schools of philosophy, most notably the Anti-realism of Michael Dummett. Thus, contrary to the first impression its name might convey, and as realized in specific approaches and disciplines (e.g. Fuzzy Sets and Systems), intuitionist mathematics is more rigorous than conventionally founded mathematics, where, ironically, the foundational elements which Intuitionism attempts to construct/refute/refound are taken as intuitively given. |
真理と証明 直観主義の基本的な特徴は、数学的声明が真であることの意味についての解釈である。Brouwerの直観主義では、数学的記述の真理は主観的な主張であ る。数学的記述は心的構成に対応し、数学者は直観によってその構成の妥当性を検証することによってのみ、記述の真理を主張することができる。直観主義的な 真理概念の曖昧さは、しばしばその意味についての誤解を招く。Kleeneは実在論の立場から直観主義的真理を形式的に定義したが、Brouwerは実在 論／プラトン主義の立場を否定しているため、この形式化を無意味なものとして拒絶するだろう。したがって、直観主義的真理はやや定義しにくいままである。 しかし、直観主義的な真理概念は古典数学の真理概念よりも限定的であるため、直観主義者は、証明するものすべてが実際に直観主義的に真であることを保証す るために、古典論理学のいくつかの仮定を否定しなければならない。これが直観主義論理を生み出す。 直観主義者にとって、ある性質を持つ物体が存在するという主張は、その性質を持つ物体を構成できるという主張である。あらゆる数学的対象は心の構築の産物 であると考えられ、したがって対象の存在はその構築の可能性と等価である。これは、実体の存在はその非存在を反証することで証明できるとする古典的アプ ローチとは対照的である。直観主義者にとっては、これは妥当ではない。非存在の反証は、その存在を主張するために必要な、想定される対象の構成を見つける ことが可能であることを意味しない。このように、直観主義は数学的構成主義の一種であるが、それだけではない。 直観主義論理学では否定の解釈が古典論理学とは異なる。古典論理学では、文の否定はその文が偽であることを主張するが、直観主義者にとっては、それはその 文が反証可能であることを意味する。文Pが証明可能であるならば、Pは確かに反証不可能である。しかし、Pが反論できないことを示すことができたとして も、それはPの証明にはならない。 同様に、直観主義者にとって、AまたはBが成り立つと主張することは、AまたはBのどちらかが証明できると主張することである。特に、「AかAでないか」 という排中律は、有効な原理として認められていない。例えば、ある直観主義者がまだ証明も反証もしていない数学的言明をAとする場合、その直観主義者は 「AかAでないか」の真偽を主張しない。しかし、直観主義者は「AであってAでない」ことが真であるはずがないことを受け入れる。このように、直観主義論 理の接続詞 "and "と "or "は、古典論理のようにド・モルガンの法則を満たしていない。 直観主義論理は構成可能性を抽象的真理に置き換え、現代数学におけるモデル理論の証明から抽象的真理への移行と関連している。論理的微積分は、派生命題を もたらす変換を越えて、真理ではなく正当性を保持する。論理微積分は、哲学のいくつかの学派、特にマイケル・ダンメットの反現実主義に哲学的な支持を与え ていると考えられている。このように、直観主義の数学は、その名前が伝えるかもしれない第一印象に反して、また、特定のアプローチや分野（例えば、ファ ジィ集合とシステム）で実現されているように、従来の数学よりも厳密であり、皮肉なことに、直観主義が構築/反証/発見しようとする基礎的な要素は、直観 的に与えられたものとして取られる。 |
| Infinity Among the different formulations of intuitionism, there are several different positions on the meaning and reality of infinity. The term potential infinity refers to a mathematical procedure in which there is an unending series of steps. After each step has been completed, there is always another step to be performed. For example, consider the process of counting: 1, 2, 3, ... The term actual infinity refers to a completed mathematical object which contains an infinite number of elements. An example is the set of natural numbers, N = {1, 2, ...}. In Cantor's formulation of set theory, there are many different infinite sets, some of which are larger than others. For example, the set of all real numbers R is larger than N, because any procedure that you attempt to use to put the natural numbers into one-to-one correspondence with the real numbers will always fail: there will always be an infinite number of real numbers "left over". Any infinite set that can be placed in one-to-one correspondence with the natural numbers is said to be "countable" or "denumerable". Infinite sets larger than this are said to be "uncountable".[3] Cantor's set theory led to the axiomatic system of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), now the most common foundation of modern mathematics. Intuitionism was created, in part, as a reaction to Cantor's set theory. Modern constructive set theory includes the axiom of infinity from ZFC (or a revised version of this axiom) and the set N of natural numbers. Most modern constructive mathematicians accept the reality of countably infinite sets (however, see Alexander Esenin-Volpin for a counter-example). Brouwer rejected the concept of actual infinity, but admitted the idea of potential infinity. According to Weyl 1946, 'Brouwer made it clear, as I think beyond any doubt, that there is no evidence supporting the belief in the existential character of the totality of all natural numbers ... the sequence of numbers which grows beyond any stage already reached by passing to the next number, is a manifold of possibilities open towards infinity; it remains forever in the status of creation, but is not a closed realm of things existing in themselves. That we blindly converted one into the other is the true source of our difficulties, including the antinomies – a source of more fundamental nature than Russell's vicious circle principle indicated. Brouwer opened our eyes and made us see how far classical mathematics, nourished by a belief in the 'absolute' that transcends all human possibilities of realization, goes beyond such statements as can claim real meaning and truth founded on evidence. — Kleene 1991, pp. 48–49 |
無限 直観主義のさまざまな定式化の中で、無限の意味と現実についていくつかの異なる立場がある。 潜在的無限という用語は、終わりのない一連のステップがある数学的手順を指す。各ステップが完了した後、常に別のステップが実行される。例えば、数を数える過程を考えてみよう： 1, 2, 3, ... 実際の無限という用語は、無限の要素を含む完成された数学的対象を指す。例えば、自然数の集合N = {1、2、...}である。 カントールの集合論の定式化では、多くの異なる無限集合があり、そのうちのいくつかは他のものよりも大きい。例えば、すべての実数の集合RはNより大き い。なぜなら、自然数を実数と一対一対応にしようとする手続きは常に失敗するからである。自然数と一対一対応に置くことができる無限集合は、「可算」また は「可算」と呼ばれる。これより大きい無限集合は「数えられない」と言われる[3]。 カントールの集合論は、現在現代数学の最も一般的な基礎となっているツェルメロ-フレンケル集合論（ZFC）の公理系につながった。直観主義は、カントールの集合論に対する反動として生まれた。 現代の構成的集合論には、ZFCの無限大の公理（またはこの公理の改訂版）と自然数の集合Nが含まれる。現代の構成的数学者の多くは、可算無限集合の実在を認めている（ただし、反例としてアレクサンダー・エセーニン＝ヴォルピンを参照）。 Brouwerは実際の無限という概念を否定したが、潜在的無限という考えは認めた。 ウェイル1946によれば、「ブルワーは、すべての自然数の総体の実在的な性格を信じることを支持する証拠は何もないことを、私は疑いの余地なく明言し た...次の数に移ることによって、すでに到達した段階を超えて成長する数の列は、無限に向かって開かれた可能性の多様体である。私たちが一方を他方に盲 目的に変換していたことが、アンチノミーを含む私たちの困難の真の原因であり、ラッセルの悪循環原理が示すよりももっと根本的な性質の原因なのである。ブ ルワーは私たちの目を開かせ、人間のあらゆる実現の可能性を超越した「絶対」に対する信念に養われた古典数学が、証拠に基づいた真の意味と真理を主張でき るような記述をどこまで超えているのかを私たちに分からせてくれた。 - クリーネ1991、48-49頁 |
| History Intuitionism's history can be traced to two controversies in nineteenth century mathematics. The first of these was the invention of transfinite arithmetic by Georg Cantor and its subsequent rejection by a number of prominent mathematicians including most famously his teacher Leopold Kronecker—a confirmed finitist. The second of these was Gottlob Frege's effort to reduce all of mathematics to a logical formulation via set theory and its derailing by a youthful Bertrand Russell, the discoverer of Russell's paradox. Frege had planned a three volume definitive work, but just as the second volume was going to press, Russell sent Frege a letter outlining his paradox, which demonstrated that one of Frege's rules of self-reference was self-contradictory. In an appendix to the second volume, Frege acknowledged that one of the axioms of his system did in fact lead to Russell's paradox.[4] Frege, the story goes, plunged into depression and did not publish the third volume of his work as he had planned. For more see Davis (2000) Chapters 3 and 4: Frege: From Breakthrough to Despair and Cantor: Detour through Infinity. See van Heijenoort for the original works and van Heijenoort's commentary. These controversies are strongly linked as the logical methods used by Cantor in proving his results in transfinite arithmetic are essentially the same as those used by Russell in constructing his paradox. Hence how one chooses to resolve Russell's paradox has direct implications on the status accorded to Cantor's transfinite arithmetic. In the early twentieth century L. E. J. Brouwer represented the intuitionist position and David Hilbert the formalist position—see van Heijenoort. Kurt Gödel offered opinions referred to as Platonist (see various sources re Gödel). Alan Turing considers: "non-constructive systems of logic with which not all the steps in a proof are mechanical, some being intuitive".[5]. Later, Stephen Cole Kleene brought forth a more rational consideration of intuitionism in his Introduction to metamathematics (1952).[6] Nicolas Gisin is adopting intuitionist mathematics to reinterpret quantum indeterminacy, information theory and the physics of time.[7] |
歴史 直観主義の歴史は、19世紀の数学における2つの論争に遡ることができる。 その1つは、ゲオルク・カントールによる超限算術の発明であり、その後、彼の師であるレオポルド・クロネッカーを含む多くの著名な数学者によって否定された。 もうひとつは、ゴットローブ・フレーゲが数学のすべてを集合論による論理的定式化に還元しようとしたことで、ラッセルのパラドックスの発見者である若き バートランド・ラッセルによって頓挫させられた。フレーゲは3巻からなる決定的な著作を計画していたが、第2巻が出版されようとした矢先、ラッセルはフ レーゲにパラドックスの概要を記した手紙を送り、フレーゲの自己言及の規則のひとつが自己矛盾であることを証明した。第2巻の付録で、フレーゲは自分の体 系の公理のひとつが実際にラッセルのパラドックスにつながることを認めた[4]。 フレーゲはうつ病に陥り、予定していた第3巻を出版しなかったという話である。詳しくはDavis (2000) Chapter 3 and 4: Fregeを参照： 突破口から絶望へ』と『カントル： を参照。原著とvan Heijenoortの解説はvan Heijenoortを参照。 カントールが超限算術の結果を証明する際に用いた論理的手法は、ラッセルがパラドックスを構築する際に用いたものと本質的に同じであるため、これらの論争 は強く結びついている。従って、ラッセルのパラドックスをどのように解決するかは、カントールの超限算術にどのような地位を与えるかに直結する。 20世紀初頭、L. E. J. Brouwerは直観主義の立場を代表し、David Hilbertは形式主義の立場を代表した。クルト・ゲーデルはプラトン主義者と呼ばれる意見を述べた（ゲーデルに関する様々な資料を参照）。アラン・ チューリングは次のように考えている： 「非構成論的論理体系では、証明のすべての段階が機械的ではなく、一部は直感的である」[5]。その後、スティーヴン・コール・クリーンは『メタ数学入 門』（1952年）の中で直観主義をより合理的に考察している[6]。 ニコラ・ジザンは量子不確定性、情報理論、時間の物理学を再解釈するために直観主義数学を採用している[7]。 |
| https://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism |
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| Intuitionismus
bezeichnet unterschiedliche philosophische, mathematische und teilweise
auch psychologische Positionen, die der Intuition eine Priorität
einräumen. Oftmals wird dabei vorausgesetzt, dass bestimmte
Sachverhalte unmittelbar erkannt oder bewiesen werden. Zu unterscheiden
sind hauptsächlich Wortverwendungen in der Erkenntnistheorie, der
intuitionistischen Ethik und Metaethik sowie ein mathematischer und
logischer Intuitionismus. |
直観主義とは、直観を優先する様々な哲学的、数学的、時には心理学的立場を指す。ある事実が直接認識されたり証明されたりすることを前提とすることが多い。主に、認識論、直観主義倫理学、メタ倫理学、数学的直観主義、論理的直観主義における用法と区別される。 |
| Erkenntnistheoretischer Intuitionismus In der Klassifikation erkenntnistheoretischer Positionen bezeichnet „Intuitionismus“ die Auffassung, dass epistemische, kognitive und ggf. metaphysische Tatsachen unmittelbar einsichtig sind und als Axiome zur Grundlage der weiteren philosophischen Beweisführung dienen können. „Intuition“ kann dabei erkenntnistheoretisch bezogen sein auf ein Wissen aus reiner Vernunft (A-priori-Wissen), unspezifischer auf den Anschein des Bestehens eines Sachverhalts oder allgemeiner auf Zustände, die Sinneserfahrung und Introspektion einschließen.[1] Frühe Neuzeit – 17. und 18. Jahrhundert Die erkenntnistheoretische Position wird üblicherweise[2] verbunden mit René Descartes und Claude Buffier. Die Schottische Schule (Thomas Reid, Dugald Stewart, William Hamilton, Pierre Paul Royer-Collard) knüpft daran an, wobei zunächst dem Skeptizismus von David Hume und später auch dem Sensualismus von Étienne Bonnot de Condillac widersprochen werden soll. Seit dem 19. Jahrhundert wird diese Richtung „Intuitionismus“ genannt, womit auch deren Nachfolger des französischen Eklektizismus bezeichnet werden. Ähnliche Ideen, die ebenfalls in der „schottischen Schule“ rezipiert werden, verfolgen Shaftesbury und Francis Hutcheson, wobei Empfindung und Gefühl als unmittelbare Evidenzen betont werden und dem Empirismus von John Locke entgegenstehen. 19. und frühes 20. Jahrhundert  Walter Meckauer: Dissertation (1917) Seit dem 19. Jahrhundert entsteht eine Strömung ethischer Theoriebildung, welche „Intuitionismus“ als Selbstbezeichnung verwendet. Bei den Theoretikern des französischen Eklektizismus werden Konzepte der schottischen Schule mit Ideen aus dem deutschen Idealismus verbunden. Zu den Vertretern zählen Victor Cousin, Adolphe Garnier (1801–1864), Théodore Simon Jouffroy und Pierre Janet. Wilhelm Traugott Krug bezeichnet auch Ideen von Friedrich Heinrich Jacobi als „Intuitionismus“. Letzterer ist durch Shaftesbury und Hutcheson und deren Gefühlsorientierung beeinflusst und versucht ebenfalls, gegenüber Locke, Hume, George Berkeley und nunmehr auch Immanuel Kant, einen unmittelbaren Zugang zu metaphysischen Wahrheiten und Gegenständen zu etablieren. In dieser Linie[3] bewegt sich auch der spekulative Idealismus von Friedrich Wilhelm Joseph Schelling, der – gegen Kant und die vorbenannten – an einer intellektuellen Anschauung festhält. Henri Bergson knüpft an die Ideen des Intuitionismus an und arbeitet den Ansatz weiter aus. Er stellt wissenschaftliche Diskursivität und philosophische „Intuition“ einander gegenüber.[4] Im Gefolge Bergsons wiederum entwickelt Edmund Husserl seine phänomenologische Methode der Ideation bzw. Wesensschau, die einen unmittelbaren, von wissenschaftlicher Theoriebildung unabhängigen epistemischen Zugang zu Dingen oder Werten an sich annimmt. Max Scheler schließt daran seine Wertphilosophie an. Spätes 20. und frühes 21. Jahrhundert Verschiedenen Positionen wird eine „intuitionistische“ Ausrichtung zugeschrieben, so etwa mit Bezug auf Vladimir Lossky (1903–1958), Martin Heidegger, Knud Ejler Løgstrup und Theodor W. Adorno,[5] die ebenfalls das Element eines unmittelbaren Zugangs zur Wirklichkeit gegenüber betont argumentativ oder rational vermittelten Positionen enthalten oder verteidigen. Auch in Disziplinen heutiger theoretischer Philosophie wird „Intuitionismus“ als Klassifikationsbegriff verwendet, wobei aber in der Regel keine explizite Kontinuität zu den vorbenannten Positionen vertreten wird. |
認識論的直観主義 認識論的立場の分類において、「直観主義」とは、認識論的事実、認識的事実、そして場合によっては形而上学的事実が即座に認識可能であり、さらなる哲学的 推論の基礎となる公理として機能しうるという見解を指す。認識論的な用語では、「直観」は純粋理性に基づく知識（アプリオリな知識）を指すこともあれば、 ある事実の存在の出現を指すこともあり、より一般的には、感覚的経験や内観を含む状態を指すこともある。 近世 - 17世紀と18世紀 この認識論的立場は通常[2]、ルネ・デカルトとクロード・ビュフィエに関連している。スコットランド学派（トーマス・リード、デュガルド・スチュワー ト、ウィリアム・ハミルトン、ピエール・ポール・ロワイエ＝コラール）はこれに続き、当初はデイヴィッド・ヒュームの懐疑論に反対し、後にエティエンヌ・ ボノー・ド・コンディヤックの官能主義にも反対した。19世紀以降、この運動は「直観主義」と呼ばれ、フランス折衷主義の後継者たちのことも指すように なった。シャフツベリーやフランシス・ハッチェソンも同様の思想を追求し、それは「スコットランド学派」にも受け継がれ、感覚や感情が直接的な証拠として 重視され、ジョン・ロックの経験主義に対抗した。 19世紀と20世紀初頭 ヴァルター・メッカウアー：学位論文（1917 年） 19世紀以降、「直観主義」を自称する倫理理論が台頭した。 フランス折衷主義の理論家たちは、スコットランド学派の概念とドイツ観念論の思想を組み合 ヴィクトル・クーサン、アドルフ・ガルニエ（1801-1864）、テオドール・シモン・ジュフロワ、ピエール・ジャネらがその代表である。ヴィルヘル ム・トラウゴット・クリュッグもフリードリヒ・ハインリヒ・ヤコビの思想を「直観主義」と呼んでいる。ヤコビはシャフツベリーやハッチェソンに影響を受 け、彼らの情緒的志向に影響を受け、また、ロック、ヒューム、ジョージ・バークレー、そして現在ではイマヌエル・カントとも対照的に、形而上学的真理や対 象への直接的なアプローチを確立しようとした。フリードリヒ・ヴィルヘルム・ヨーゼフ・シェリングの思弁的観念論は、カントや前述の人々とは対照的に、知 的なアプローチを堅持しており[3]、この路線も踏襲している。 アンリ・ベルクソンは直観主義の思想を基礎とし、このアプローチをさらに発展させた。彼は科学的な言説と哲学的な「直観」を並置している[4]。 ベルクソンに続いて、エドムント・フッサールは、科学的な理論化とは無関係に、事物や価値への直接的な認識論的アクセスを前提とする、イデアや本質観の現象学的方法を開発した。マックス・シェラーは、これに続く価値哲学を展開している。 20世紀後半から21世紀初頭 例えば、ウラジーミル・ロスキー（1903-1958）、マルティン・ハイデッガー、クヌード・エイラー・ローグストラップ、テオドール・W・アドルノ [5]などは、強調的に議論する立場や合理的に媒介される立場とは対照的に、現実への即時的なアプローチの要素を含んでいるか、それを擁護している。 直観主義」は現代の理論哲学の分野でも分類用語として使用されているが、原則として前述の立場との明確な連続性は主張されていない。 |
| Ethischer und metaethischer Intuitionismus Nach Robert Audi ist in der heutigen Epistemologie der Moral „moralischer Intuitionismus“ ein Sammelbegriff für Positionen, die – anders als Utilitarismus und deontologische Ethik wie diejenige Kants – in folgenden theoretischen Verpflichtungen übereinkommen:[6] Es gibt irreduzibel mehrere Prinzipien der Moral. (Dagegen werden in verbreiteten Ausarbeitungen utilitaristischer und deontologischer Ethik, insb. in der kantischen Ethik nur ein oder wenige Moralprinzipien angenommen, aus welchen andere moralische Wahrheiten herleitbar bzw. auf welche diese geltungslogisch zurückführbar sein sollen.) Jedes der Moralprinzipien bezieht sich auf einen natürlichen Grund, der eine prima facie Pflicht impliziert. Diese Moralprinzipien sind intuitiv wissbar, werden also nicht etwa nur durch Schlussfolgerungen (inferentiell) erfasst. Wegen der dritten These handelt es sich um eine Variante eines Epistemologischen Fundamentalismus, also einer Theorie, die letzte Fundamente der Wissensbegründung postuliert. Gegenpositionen sind der Empirismus des Utilitarismus, der Rationalismus der kantischen deontologischen Ethik, sowie ferner der Nonkognitivismus.[7] Einige Autoren unterscheiden naturalistischen und „metaphysischen“ Intuitionismus.[8] Letzterer wird dabei zum Beispiel verstanden als verpflichtet auf die These, dass Ausdrücke wie „gut“ auf „ethische Objekte“ referieren, die menschliches Bewusstsein erfasst, wenn es ethisches Wissen erwirbt.[9] Der moralische Intuitionismus hat Vorläufer in Henry Sidgwick, George Edward Moore, Max Scheler, William David Ross, Hastings Rashdall (1858–1924), wobei aber Abgrenzungen vorgenommen werden, etwa bei Moore[10]. Gegenwärtige Vertreter sind unter anderem Robert Audi, Noah Lemos (* 1956), Grant C. Sterling, Russ Shafer-Landau (* 1963) und William Donald Hudson. Gerd Gigerenzer versteht „intuitionistische Ethik“ als Heuristik einfacher und evolvierter Faustregeln zur intelligenten Komplexitätsreduzierung.[11] |
倫理的直観主義とメタ倫理的直観主義 ロバート・アウディによれば、今日の道徳の認識論において「道徳的直観主義」とは、功利主義やカントのような脱論理的倫理学とは異なり、以下の理論的公約に同意する立場の総称である[6]。 道徳の原理は不可逆的に複数存在する。(これとは対照的に、功利主義倫理学や脱ontological倫理学、特にカント倫理学の広範な精緻化では、1つまたは少数の道徳原理のみが想定され、そこから他の道徳的真理が導かれるか、論理的に追跡可能であるべきである）。 各道徳原理は、一応の義務を暗示する自然的理由を指す。 これらの道徳原理は直観的に知りうるものであり、推論によってのみ把握できるものではない。 第三のテーゼにより、これは認識論的原理主義、すなわち知識正当化の究極的基礎を仮定する理論の一種である。対立する立場は、功利主義の経験主義、カント的脱ontological倫理学の合理主義、および非認知主義である[7]。 著者の中には自然主義的直観主義と「形而上学的」直観主義を区別する者もおり[8]、後者は例えば「善」などの表現は人間の意識が倫理的知識を獲得する際に把握する「倫理的対象」を指すというテーゼへのコミットメントとして理解されている[9]。 道徳的直観主義にはヘンリー・シドウィック、ジョージ・エドワード・ムーア、マックス・シェラー、ウィリアム・デイヴィッド・ロス、ヘイスティングス・ラ シュドール（1858-1924）といった先駆者がいるが、ムーアなどとは区別されている[10]。現在の代表者は、ロバート・アウディ、ノア・レモス （※1956年）、グラント・C・スターリング、ラス・シェーファー＝ランドー（※1963年）、ウィリアム・ドナルド・ハドソンなどである。 ゲルト・ギゲレンツァーは「直観主義的倫理学」を、複雑性の知的削減のための単純で進化した経験則のヒューリスティックとして理解している[11]。 |
| Intuitionistische Mathematik und Logik → Hauptartikel: Intuitionismus (Logik und Mathematik) Der mathematische Intuitionismus vertritt, dass die Mathematik eine aktiv konstruktive Tätigkeit ist. Alle mathematischen Gegenstände sind Konstrukte, produziert von idealen Mathematikern, die gleichwohl endlich bleiben und damit aktual unendliche mathematische Objekte eigentlich nicht konstruieren können. Um nichtkonstruktive Beweise ausschließen zu können, müssen die Gesetze der Elimination doppelter Negation (non-non-A = A) und des Ausschlusses einer dritten Alternative bei logischen Gegensätzen (A oder non-A) aus der klassischen Logik suspendiert werden. Darum müssen klassische mathematische Theorien wie die Peano-Arithmetik revidiert werden. Während im Bereich der Arithmetik syntaktische Übersetzungen in intuitionistische Aussagen leicht zu bewerkstelligen sind, erhöht der intuitionistische Ansatz in der Analysis und anderen Theorien höherer Mathematik die Komplexität enorm. Gegenpositionen in der Philosophie der Mathematik sind Logizismus (Gottlob Frege: Mathematik ist reduzierbar auf Logik), Formalismus (David Hilbert) oder Prädikativismus (Bertrand Russell).[12] Ein entschiedener Gegner der Reduktion der Mathematik auf die Logik war Anfang des 20. Jahrhunderts auch Henri Poincaré. L. E. J. Brouwer ist der Begründer des mathematischen Intuitionismus.[13] Der Ausgangspunkt für diesen Intuitionismus (den fregeschen Logizismus zu radikalisieren, die klassische Mathematik zu revidieren und auch verschiedene logische Prinzipien zu verwerfen) ist der Unendlichkeitsbegriff, weil das Unendliche niemals als fertige Gesamtheit (als „aktual Unendliches“, z. B., als gäbe es unendlich viele Zahlen), sondern als bloße Möglichkeit des unbegrenzten Fortschreitens aufzufassen sei (als „potentiell Unendliches“, z. B., insofern man zu jeder natürlichen Zahl eine nachfolgende Zahl angeben kann; siehe auch Finitismus), so dass die Allgemeingültigkeit des Prinzips vom ausgeschlossenen Dritten geleugnet werden müsse, da es in Anwendung auf unendliche Gegenstandsbereiche nicht unbeschränkt gelten könne.[14] Heutige Vertreter sind beispielsweise Anne Troelstra, Dirk van Dalen oder Rudolf Taschner. Aus den vorbenannten Gründen erfordert die konstruktivistische Mathematik eine revidierte Logik. Diese Basis stellt die Intuitionistische Logik bereit. Neben Brouwer waren an der Ausarbeitung intuitionistischer Logiksysteme unter anderem beteiligt Andrei Kolmogorow, Errett Bishop, Arend Heyting, Gerhard Gentzen, Stephen Cole Kleene, Kurt Gödel, Saul A. Kripke, Paul Lorenzen und Michael Dummett. Auch der aus der Hilbert-Schule stammende Mathematiker Hermann Weyl stand zeitweise dem Intuitionismus nahe und löste 1921 eine Debatte zwischen Intuitionisten und der Hilbert-Schule aus (Grundlagenkrise der Mathematik). |
直観主義数学と論理学 → 主な記事 直観主義（論理学と数学） 数学的直観主義は、数学は積極的に構成的な活動であると主張する。すべての数学的対象は、理想的な数学者によって作り出された構成物であり、彼らは有限で あるため、実際には無限の数学的対象を構成することはできない。非構成的な証明を排除するためには、二重否定の排除（非-非-A＝A）と、論理的対立（A または非-A）の場合の第三の選択肢の排除の法則を、古典論理学から停止しなければならない。これが、ペアノ算術のような古典的な数学理論が修正されなけ ればならない理由である。算術の分野では、直観主義的な文への構文変換は容易であるが、解析学やその他の高等数学の理論では、直観主義的なアプローチは非 常に複雑なものとなる。数学哲学において対立する立場は、論理主義（ゴットローブ・フレーゲ：数学は論理に還元可能）、形式主義（デイヴィッド・ヒルベル ト）、述語主義（バートランド・ラッセル）である[12]。アンリ・ポアンカレもまた、20世紀初頭には数学の論理への還元に断固反対していた。 L. E.J.ブローウェルは数学的直観主義の創始者である[13]。この直観主義（フレーゲ論理主義を急進させ、古典数学を修正し、また様々な論理原理を否定 する）の出発点は無限という概念である、 というのも、無限は決して完成された全体として（「実際の無限」、たとえば無限の数があるかのように）理解されることはなく、無制限に進行する単なる可能 性として（「潜在的無限」、たとえば以下のように）理解されるからである、 例えば、すべての自然数に対して後続の数を指定することができる限りにおいて、「潜在的無限」である。上記の理由から、構成主義数学は論理の修正を必要と する。この基礎は直観主義論理によって提供される。直観主義論理の発展には、ブローワーのほか、アンドレイ・コルモゴロフ、エレット・ビショップ、アレン ト・ヘイティング、ゲルハルト・ゲンツェン、スティーブン・コール・クリーネ、クルト・ゲーデル、ソウル・A・クリプキ、ポール・ローレンツェン、マイケ ル・ダンメットらが関わっている。ヒルベルト学派出身の数学者ヘルマン・ヴァイルも直観主義に近い時期があり、1921年に直観主義者とヒルベルト学派の 論争を引き起こした（『数学の根本的危機』）。 |
| Sonstige Wortverwendungen Von „intuitionistischen“ Positionen hat man auch gesprochen mit Bezug auf Pawel Alexandrowitsch Florenski und Nikolai Lossky[15] sowie Martin Heidegger, bei letzterem mit Bezug auf seine Rationalitätskritik und die Annahme eines unmittelbaren „Zuspruch[s] des Seins“, der jeder „Verdinglichung“ von einzelnem Seienden voraus geht.[16] Auch die auf „Vollzugswissen“ beruhende Empraxis steht für eine spezifisch intuitionistische Position.[17] |
その他の用法 また、パヴェル・アレクサンドロヴィッチ・フロレンスキーやニコライ・ロスキー[15]、マルティン・ハイデガー（後者は合理性への批判と、個々の存在の あらゆる「再定義」に先立つ即時的な「存在の約束」の仮定に言及した）[16]を参照した「直観主義」の立場についても語られている。 |
| https://de.wikipedia.org/wiki/Intuitionismus |
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