Pythagoras and Music
Woodcut showing Pythagoras with bells, a
kind of glass harmonica, a monochord and (organ?) pipes in Pythagorean
tuning. From Theorica musicae by Franchino Gaffurio, 1492 (1480?)
ピタゴラスと音楽
Pythagoras and Music
Woodcut showing Pythagoras with bells, a
kind of glass harmonica, a monochord and (organ?) pipes in Pythagorean
tuning. From Theorica musicae by Franchino Gaffurio, 1492 (1480?)
ピタゴラスは音階の主要な音程に対応する数比を発見したとされている[12]。彼はオクター ヴを2：1、完全五度を3：2、完全四度を4：3、そして完全五度と完全四度の差としての全音を9：8と定義した[12]。
半音階上の長音階（→音階）
ボエティウスは著書の『音楽教程』の冒頭にピタゴラスが音程と数比の関係を発見した経緯を記している。ある日鍛冶屋の前を通ったピタゴラスは、作業場の何 人かの職人が打っているハンマーの音が共鳴して、快い協和音を発していることに気が付いた。中に入って調べてみると、ハンマーの音程は、その重量と関係が あった。そこには五本のハンマーがあったが、四本の鎚の重さは「12 : 9 : 8 : 6」の単純な数比の関係にあることが解ったのである。単純な比になっていない他の1本のハンマーだけは、鳴らすと不協和音がした（しかし実際にはこの原理 は楽器の弦の長さの比率においては正しいが、金槌の重さには当てはまらない）。
ピタゴラスはさらに弦楽器や笛で実験し、弦の長さの比が弦の振動数の比、つまり音程の関係を支配することを発見した。ピタゴラスは発見した音程の法則を確 認するために、モノコードと呼ばれる1本のガットと自在に動かせる駒で構成される調律道具を発明したといわれる[11]。
ピタゴラスに由来するとされるもう一つの音楽に関する学説は、「天球の音楽」の理論である。これは各惑星がある楽音に対応し、それらがハーモニーを形成し
ているというものである[12]。ピタゴラスの死後、彼の信奉者は音楽理論に関する学派を形成するが、ピタゴラスの学説が古代ギリシアの音楽の実践に影響を及ぼした可能性はほとんどない
[12]。
ピタゴラス音律は周波数の比率が3：2の音程の積み重ねに基づく音律である。これは中国の三分損益法と同様である。ピタゴラスコンマはピタゴラス音律にお ける異名同音の差である。
File:Pythagorean diatonic scale on C.mid
File:Just diatonic scale on C.mid
| Pythagoras According to legend, Pythagoras discovered that musical notes could be translated into mathematical equations when he passed blacksmiths at work one day and heard the sound of their hammers clanging against the anvils.[224][225] Thinking that the sounds of the hammers were beautiful and harmonious, except for one,[226] he rushed into the blacksmith shop and began testing the hammers.[226] He then realized that the tune played when the hammer struck was directly proportional to the size of the hammer and therefore concluded that music was mathematical.[225][226] |
ピタゴラス 伝説によると、ピタゴラスはある日、仕事中の鍛冶屋の前を通りかかり、金敷きに打ち付けられるハンマーの音を聞いたとき、音符を数学の方程式に置き換える ことができることを発見したという。[224][225] ハンマーの音は美しい調和を奏でており、 、1つを除いては、と彼は考えた。そして、彼は鍛冶屋に駆け込み、ハンマーを試し始めた。[226] ハンマーが打撃音を奏でる際の音の高さはハンマーのサイズに正比例していることに気づき、音楽は数学的であると結論づけた。[225][226] |
| Pythagorean tuning Pythagorean tuning is a system of musical tuning in which the frequency ratios of all intervals are based on the ratio 3:2.[2] This ratio, also known as the "pure" perfect fifth, is chosen because it is one of the most consonant and easiest to tune by ear and because of importance attributed to the integer 3. As Novalis put it, "The musical proportions seem to me to be particularly correct natural proportions."[3] Alternatively, it can be described as the tuning of the syntonic temperament[1] in which the generator is the ratio 3:2 (i.e., the untempered perfect fifth), which is ≈ 702 cents wide. The system dates to Ancient Mesopotamia;[4] see Music of Mesopotamia § Music theory. The system is named, and has been widely misattributed, to Ancient Greeks, notably Pythagoras (sixth century BC) by modern authors of music theory, while Ptolemy, and later Boethius, ascribed the division of the tetrachord by only two intervals, called "semitonium", "tonus", "tonus" in Latin (256:243 × 9:8 × 9:8), to Eratosthenes. The so-called "Pythagorean tuning" was used by musicians up to the beginning of the 16th century. "The Pythagorean system would appear to be ideal because of the purity of the fifths, but some consider other intervals, particularly the major third, to be so badly out of tune that major chords [may be considered] a dissonance."[2] The Pythagorean scale is any scale which can be constructed from only pure perfect fifths (3:2) and octaves (2:1).[5] In Greek music it was used to tune tetrachords, which were composed into scales spanning an octave.[6] A distinction can be made between extended Pythagorean tuning and a 12-tone Pythagorean temperament. Extended Pythagorean tuning corresponds 1-on-1 with western music notation and there is no limit to the number of fifths. In 12-tone Pythagorean temperament however one is limited by 12-tones per octave and one cannot play most music according to the Pythagorean system corresponding to the enharmonic notation, instead one finds that for instance the diminished sixth becomes a "wolf fifth". |
ピ
タゴラス音律 ピタゴラス音律は、すべての音程の周波数比が3:2の比率に基づいている音律である。[2] この比率は「純粋な」完全5度としても知られており、最も調和しやすく、耳でチューニングしやすい比率であること、また整数3が重要視されていることか ら、この比率が選ばれている。ノヴァーリスは「音楽の比率は、私には特に正しい自然の比率であるように思える」と述べている。[3] あるいは、これは、ジェネレーターが比率3:2(すなわち、無調整の完全5度)であるシントニック音律のチューニングであるとも表現できる。 このシステムは古代メソポタミアにまで遡るものであり、[4] メソポタミアの音楽 § 音楽理論を参照のこと。このシステムは古代ギリシア人にちなんで名付けられ、広く誤って帰属されてきたが、特にピタゴラス(紀元前6世紀)に帰属されてい る。一方で、プトレマイオスや、後にボエティウスは、 テトラコードを2つの音程のみで分割したもの(ラテン語では「セミトニウム」、「トヌス」、「トヌス」と呼ばれる)をエラトステネスに帰している。いわゆ る「ピタゴラス音律」は、16世紀初頭まで音楽家たちによって使用されていた。「ピタゴラス音律は純正五度音程であるため理想的であるように見えるが、他 の音程、特に長三度音程は調和を著しく欠くため、長和音は不協和音であるとみなされる可能性がある」と考える者もいる。[2] ピタゴラス音階は、純粋な完全5度(3:2)とオクターブ(2:1)のみで構成される音階である。[5] ギリシャ音楽では、オクターブにわたる音階を構成する4音コードの調律に使用されていた。[6] 拡張ピタゴラス音階と12音ピタゴラス音律は区別される。拡張ピタゴラス音律は西洋音楽の音符と1対1で対応し、5度の数に制限がない。しかし、12音ピ タゴラス音律では1オクターブあたり12音に制限され、ピタゴラス音律では異名同音の表記に対応するほとんどの音楽を演奏することができない。その代わ り、例えば短6度は「ウルフ5度」となる。 |
| 12-tone
Pythagorean temperament is based on a stack of intervals called perfect
fifths, each tuned in the ratio 3:2, the next simplest ratio after 2:1.
Starting from D for example (D-based tuning), six other notes are
produced by moving six times a ratio 3:2 up, and the remaining ones by
moving the same ratio down: E♭–B♭–F–C–G–D–A–E–B–F♯–C♯–G♯ This succession of eleven 3:2 intervals spans across a wide range of frequency (on a piano keyboard, it encompasses 77 keys). Since notes differing in frequency by a factor of 2 are perceived as similar and given the same name (octave equivalence), it is customary to divide or multiply the frequencies of some of these notes by 2 or by a power of 2. The purpose of this adjustment is to move the 12 notes within a smaller range of frequency, namely within the interval between the base note D and the D above it (a note with twice its frequency). This interval is typically called the basic octave (on a piano keyboard, an octave has only 12 keys). This dates to antiquity: in Ancient Mesopotamia, rather than stacking fifths, tuning was based on alternating ascending fifths and descending fourths (equal to an ascending fifth followed by a descending octave), resulting in the notes of a pentatonic or heptatonic scale falling within an octave. For instance, the A is tuned such that its frequency equals 3/2 times the frequency of D—if D is tuned to a frequency of 288 Hz, then A is tuned to 432 Hz. Similarly, the E above A is tuned such that its frequency equals 3/2 times the frequency of A, or 9/4 times the frequency of D—with A at 432 Hz, this puts E at 648 Hz. Since this E is outside the above-mentioned basic octave (i.e. its frequency is more than twice the frequency of the base note D), it is usual to halve its frequency to move it within the basic octave. Therefore, E is tuned to 324 Hz, a 9/8 (= one epogdoon) above D. The B at 3/2 above that E is tuned to the ratio 27:16 and so on. Starting from the same point working the other way, G is tuned as 3/2 below D, which means that it is assigned a frequency equal to 2/3 times the frequency of D—with D at 288 Hz, this puts G at 192 Hz. This frequency is then doubled (to 384 Hz) to bring it into the basic octave. When extending this tuning however, a problem arises: no stack of 3:2 intervals (perfect fifths) will fit exactly into any stack of 2:1 intervals (octaves). For instance a stack such as this, obtained by adding one more note to the stack shown above A♭–E♭–B♭–F–C–G–D–A–E–B–F♯–C♯–G♯ will be similar but not identical in size to a stack of 7 octaves. More exactly, it will be about a quarter of a semitone larger, called the Pythagorean comma. Thus, A♭ and G♯, when brought into the basic octave, will not coincide as expected. The table below illustrates this, showing for each note in the basic octave the conventional name of the interval from C (the base note), the formula to compute its frequency ratio, its size in cents, and the difference in cents (labeled 12-TET-dif in the table) between its size and the size of the corresponding one in the equally tempered scale. History and usage The system dates to Ancient Mesopotamia,[4] and consisted of alternating ascending fifths and descending fourths; see Music of Mesopotamia § Music theory. Within Ancient Greek music, the system had been mainly attributed to Pythagoras (who lived around 500 BCE) by modern authors of music theory; Ancient Greeks borrowed much of their music theory from Mesopotamia, including the diatonic scale, Pythagorean tuning, and modes. The Chinese Shí-èr-lǜ scale uses the same intervals as the Pythagorean scale and was invented between 600 BCE and 240 CE.[2][9] Because of the wolf interval when using a 12-tone Pythagorean temperament, this tuning is rarely used today, although it is thought to have been widespread. In music which does not change key very often, or which is not very harmonically adventurous, the wolf interval is unlikely to be a problem, as not all the possible fifths will be heard in such pieces. In extended Pythagorean tuning there is no wolf interval, all perfect fifths are exactly 3:2. Because most fifths in 12-tone Pythagorean temperament are in the simple ratio of 3:2, they sound very "smooth" and consonant. The thirds, by contrast, most of which are in the relatively complex ratios of 81:64 (for major thirds) and 32:27 (for minor thirds), sound less smooth depending on the instrument.[10] From about 1510 onward, as thirds came to be treated as consonances, meantone temperament, and particularly quarter-comma meantone, which tunes thirds to the relatively simple ratio of 5:4, became the most popular system for tuning keyboards. At the same time, syntonic-diatonic just intonation was posited first by Ramos and then by Zarlino as the normal tuning for singers. However, meantone presented its own harmonic challenges. Its wolf intervals proved to be even worse than those of the Pythagorean tuning (so much so that it often required 19 keys to the octave as opposed to the 12 in Pythagorean tuning). As a consequence, meantone was not suitable for all music. From around the 18th century, as the desire grew for instruments to change key, and therefore to avoid a wolf interval, this led to the widespread use of well temperaments and eventually equal temperament. Pythagorean temperament can still be heard in some parts of modern classical music from singers and from instruments with no fixed tuning such as the violin family. Where a performer has an unaccompanied passage based on scales, they will tend towards using Pythagorean intonation as that will make the scale sound best in tune, then reverting to other temperaments for other passages (just intonation for chordal or arpeggiated figures, and equal temperament when accompanied with piano or orchestra). Such changes are never explicitly notated and are scarcely noticeable to the audience, just sounding 'in tune'. https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tuning |
12
音ピタゴラス音律は、完全5度と呼ばれる音程の積み重ねを基にしており、それぞれは3:2の比率で調律されている。例えばD(Dを基調とする調律)から出
発すると、6つの他の音は3:2の比率を6回上方向に移動することで生成され、残りの音は同じ比率を下方向に移動することで生成される。 E♭–B♭–F–C–G–D–A–E–B–F♯–C♯–G♯ この11個の3:2音程の連続は、幅広い周波数にわたっている(ピアノの鍵盤では77個の鍵盤に及ぶ)。周波数が2倍異なる音は類似していると認識され、 同じ名称が付けられる(オクターブの同等性)ため、これらの音の一部の周波数を2または2の累乗で割ったり、掛け合わせたりすることが一般的である。この 調整の目的は、12音をより狭い周波数範囲、すなわち基音のDとその上のD(周波数が2倍の音)の間の音程内に移動させることである。この音程は一般的に 「基本オクターブ」と呼ばれる(ピアノの鍵盤では、オクターブは12個の鍵盤しかない)。これは古代にまで遡る。古代メソポタミアでは、五度音程を積み重 ねるのではなく、上昇する五度と下降する四度(上昇する五度に続いて下降するオクターブ)を交互に重ねる調律法が用いられていた。その結果、五音音階また は七音音階の音はオクターブ内に収まることになった。 例えば、Aの周波数はDの周波数の3/2倍に等しくなるように調律される。Dの周波数が288 Hzに調律されている場合、Aの周波数は432 Hzに調律される。同様に、Aの上のEの周波数はAの周波数の3/2倍、またはDの周波数の9/4倍に等しくなるように調律される。Aが432 Hzの場合、Eは648 Hzとなる。このEは前述の基本オクターブ(すなわち、その周波数は基音Dの周波数の2倍以上)の外にあるため、基本オクターブ内に移動させるには、その 周波数を半分にすることが一般的である。したがって、EはDの9/8(=1エポグドン)上の324 Hzに調律される。そのEの3/2上のBは27:16の比率で調律され、以下同様である。同じポイントから逆方向に作業すると、GはDの3/2下に調律さ れる。つまり、Dの周波数の2/3倍の周波数が割り当てられる。Dが288 Hzの場合、Gは192 Hzとなる。この周波数は、基本オクターブに合わせるために2倍(384 Hz)される。 しかし、この音律を拡張すると問題が生じる。3:2音程(完全5度)の音の列は、2:1音程(オクターブ)の音の列にぴったりとは当てはまらないのだ。例えば、上の音の列にさらに1音を加えた場合、次のようになる。 A♭–E♭–B♭–F–C–G–D–A–E–B–F♯–C♯–G♯ 7オクターブの音の積み重ねと似ているが、同じ大きさではない。より正確に言えば、ピタゴラスコンマと呼ばれる半音の4分の1ほど大きい。したがって、 A♭とG♯を基本オクターブに配置すると、期待通りに一致しない。下の表は、これを説明しており、基本オクターブの各音について、基準音であるCからの音 程の慣例的な名称、周波数比を計算する公式、セント単位での音程の大きさ、および、その音程の大きさ(表では12-TET-difと表記)と平均律音階に おける対応する音程の大きさの差を示している。 歴史と用法 この音階は古代メソポタミアにまで遡り[4]、上昇する5度と下降する4度が交互に並ぶ。古代ギリシア音楽では、この音階は主にピタゴラス(紀元前500 年頃に生きた人物)に帰属されているが、現代の音楽理論の著者は、古代ギリシア人はメソポタミアから多くの音楽理論を借用しており、その中にはダイアト ニック・スケール、ピタゴラス音律、旋法も含まれていると主張している。中国の十二律音階はピタゴラス音階と同じ音程を使用しており、紀元前600年から 西暦240年の間に発明された。[2][9] 12音ピタゴラス音律を使用するとウルフ音程が生じるため、この音律は現在ではほとんど使用されていないが、かつては広く普及していたと考えられている。 調を頻繁に変えない音楽や、あまりハーモニー的に冒険的でない音楽では、すべての可能な5度が聞かれるわけではないため、狼音程は問題にならない。拡張ピ タゴラス音律では、狼音程は存在せず、すべての完全5度は正確に3:2である。 12音ピタゴラス音律におけるほとんどの5度は3:2という単純な比率であるため、非常に「滑らか」で協和的な響きとなる。それに対して3度では、そのほ とんどが81:64(長3度)や32:27(短3度)といった比較的複雑な比率であるため、楽器によっては滑らかさに欠ける響きとなる。 1510年頃以降、3度音程が協和音として扱われるようになると、平均律、特に3度を比較的単純な比率である5:4に調律する四分音符平均律が、鍵盤楽器 の調律として最も一般的なシステムとなった。同時に、シンセティック・ダイアトニック・ジャスト・イントネーションが、ラモスによって、そして後にザリー ノによって、歌手のための標準的な調律法として提唱された。 しかし、中全音律には独自の調和上の課題があった。その狼音程はピタゴラス音律のそれよりもさらに悪いことが判明した(ピタゴラス音律ではオクターブに 12の鍵盤が必要であるのに対し、中全音律では19の鍵盤が必要になることが多かったほどである)。そのため、平均律はすべての音楽に適しているわけでは なかった。18世紀頃から、調を変えることができる楽器が望まれるようになり、狼音程を避ける必要が生じたため、平均律や最終的には平均律が広く使用され るようになった。 ピタゴラス音律は、現代のクラシック音楽の一部で、歌手や、調弦が固定されていない楽器(バイオリン族など)で今でも聞くことができる。演奏者が音階に基 づく無伴奏のパッセージを演奏する場合、音階が最も調和して聞こえるピタゴラス音律を使用する傾向があり、他のパッセージでは他の音律(和音やアルペジオ のフレーズには純正律、ピアノやオーケストラとの共演では平均律)を使用する。このような変更は決して明確に記譜されることはなく、聴衆にはほとんど気づ かれないが、「調和している」ように聞こえる。 |
| Pythagorean hammers According to legend, Pythagoras discovered the foundations of musical tuning by listening to the sounds of four blacksmith's hammers, which produced consonance and dissonance when they were struck simultaneously. According to Nicomachus in his 2nd-century CE Enchiridion harmonices,[1] Pythagoras noticed that hammer A produced consonance with hammer B when they were struck together, and hammer C produced consonance with hammer A, but hammers B and C produced dissonance with each other. Hammer D produced such perfect consonance with hammer A that they seemed to be "singing" the same note. Pythagoras rushed into the blacksmith shop to discover why, and found that the explanation was in the weight ratios. The hammers weighed 12, 9, 8, and 6 pounds respectively. Hammers A and D were in a ratio of 2:1, which is the ratio of the octave. Hammers B and C weighed 8 and 9 pounds. Their ratios with hammer D were (12:8 = 3:2 = perfect fifth) and (12:9 = 4:3 = perfect fourth). The space between B and C is a ratio of 9:8, which is equal to the musical whole tone, or whole step interval (Play 9/8ⓘ). The legend is, at least with respect to the hammers, demonstrably false. It is probably a Middle Eastern folk tale.[2] These proportions are indeed relevant to string length (e.g. that of a monochord) — using these founding intervals, it is possible to construct the chromatic scale and the basic seven-tone diatonic scale used in modern music, and Pythagoras might well have been influential in the discovery of these proportions (hence, sometimes referred to as Pythagorean tuning) — but the proportions do not have the same relationship to hammer weight and the tones produced by them.[3][4] However, hammer-driven chisels with equal cross-section, show an exact proportion between length or weight and Eigenfrequency.[5] Earlier sources mention Pythagoras' interest in harmony and ratio. Xenocrates (4th century BCE), while not as far as we know mentioning the blacksmith story, described Pythagoras' interest in general terms: "Pythagoras discovered also that the intervals in music do not come into being apart from number; for they are an interrelation of quantity with quantity. So he set out to investigate under what conditions concordant intervals come about, and discordant ones, and everything well-attuned and ill-tuned."[6] Whatever the details of the discovery of the relationship between music and ratio, it is regarded[7] as historically the first empirically secure mathematical description of a physical fact. As such, it is symbolic of, and perhaps leads to, the Pythagorean conception of mathematics as nature's modus operandi.[8] As Aristotle was later to write, "the Pythagoreans construct the whole universe out of numbers".[9] The Micrologus of Guido of Arezzo repeats the legend in Chapter XX.[10] |
ピタゴラスのハンマー 伝 説によると、ピタゴラスは4つの鍛冶屋のハンマーの音を聴くことで、音楽の調律の基礎を発見した。ハンマーを同時に叩くと、協和音と不協和音が生まれる。 2世紀のニコマコスによる『エンキリディオン・ハルモニケス』によると、ピタゴラスはハンマーAとハンマーBを同時に叩くと協和音が生まれ、ハンマーCと ハンマーAを同時に叩くと協和音が生まれ、ハンマーBとハンマーCを同時に叩くと不協和音が生まれることに気づいた。ハンマーDはハンマーAと完璧な協和 音を奏で、まるで同じ音を「歌っている」かのようだった。ピタゴラスは理由を突き止めるために鍛冶屋に駆け込み、その説明は重量比にあることを発見した。 ハンマーの重量はそれぞれ12ポンド、9ポンド、8ポンド、6ポンドであった。ハンマーAとDは2:1の比率であり、これはオクターブの比率である。ハン マーBとCの重量はそれぞれ8ポンドと9ポンドであった。ハンマーDとの比率は、(12:8 = 3:2 = 完全5度)と(12:9 = 4:3 = 完全4度)であった。BとCの間の間隔は9:8の比率であり、これは音楽の全音、つまり全音階間隔に等しい(9/8ⓘを再生)。 少なくともハンマーに関しては、この伝説は明らかに誤りである。おそらくは中東の民話であろう。[2] これらの比率は、弦の長さ(例えばモノコードの弦の長さ)には確かに関係している。これらの基本音程を使用すれば、現代音楽で使用される半音階と基本とな る7音のダイアトニック・スケールを構築することが可能であり、ピタゴラスは (そのため、ピタゴラス音律と呼ばれることもある)が、これらの比率はハンマーの重量とそれによって生み出される音程との間に同じ関係があるわけではな い。[3][4] しかし、ハンマーで動かすノミの断面が同じであれば、長さや重量と固有振動数との間に正確な比率が現れる。[5] 初期の情報源には、ピタゴラスが調和と比率に関心を抱いていたことが記載されている。クセノクラテス(紀元前4世紀)は、我々の知る限りでは鍛冶屋の物語 に言及しているわけではないが、ピタゴラスの関心を一般的な言葉で次のように説明している。「ピタゴラスは、音楽の音程は数から切り離されて存在するもの ではないことも発見した。なぜなら、それらは量と量の相互関係だからである。そこで彼は、調和する音程と不協和音程、そして調和する音程と調和しない音程 がどのような条件下で生じるのかを調査し始めた。そして、調和する音程と調和しない音程、そして調和する音程と調和しない音程がすべてうまく調和するの か、調和しないのかを調査し始めた。」[6] 音楽と比率の関係の発見の詳細がどのようなものであれ、それは歴史的に見て、物理的事実を経験的に裏付けた数学的記述としては初めてのものであるとみなさ れている。そのため、それはピタゴラス派の数学観の象徴であり、おそらくは自然界の法則としての数学の概念につながるものである。[8] アリストテレスが後に記したように、「ピタゴラス派は、宇宙全体を数から構成する」のである。[9] アレッツォのグイードの『小宇宙論』は、第20章でこの伝説を繰り返している。[10] |
| Contents of the legend According to the oldest recorded version[11] of the legend, Pythagoras, who lived in the 6th century BC, sought a tool to measure acoustic perceptions, similar to how geometric quantities are measured with a compass or weights with a scale. As he passed by a forge where four (according to a later version, five) craftsmen were working with hammers, he noticed that each strike produced tones of different pitch, which resulted in harmonies when paired. He was able to distinguish Octave, fifth, and fourth. Only one pair, which formed the interval between fourth and fifth (a major second), he perceived as dissonant. Excitedly, he ran into the forge to conduct experiments. There, he discovered that the difference in pitch was not dependent on the shape of the hammer, the position of the struck iron, or the force of the blow. Rather, he could associate the pitches with the weights of the hammers, which he measured precisely. He then returned home to continue the experiments. He hung four equally long, equally strong, and equally twisted strings in succession on a peg attached diagonally to the corner of the walls, weighting them differently by attaching different weights at the bottom. Then he struck the strings in pairs, and the same harmonies resonated as in the forge. The string with the heaviest load of twelve units, when paired with the least burdened string carrying six units, produced an octave. Thus, it was evident that the octave was based on the ratio 12:6, or 2:1. The most tense string yielded a fifth with the second loosest string (eight units), and a fourth with the second tightest string (nine units). From this, it followed that the fifth was based on the ratio 12:8, or 3:2, and the fourth on the ratio 12:9, or 4:3. Again, the ratio of the second tightest string to the loosest, with 9:6, or 3:2, yielded a fifth, and the ratio of the second loosest to the loosest, with 8:6, or 4:3, yielded a fourth. For the dissonant interval between fifth and fourth, it was revealed that it was based on the ratio 9:8, which coincided with the weight measurements carried out in the forge. The octave proved to be the product of the fifth and fourth: Pythagoras then extended the experiment to various instruments, experimented with vessels, flutes, triangles, the Monochord, etc., always finding the same numerical ratios. Finally, he introduced the commonly used terminology for relative pitch. Further traditions With the invention of the monochord to investigate and demonstrate the harmonies of pairs of strings with different integer length ratios, Pythagoras is said to have introduced a convenient means of illustrating the mathematical foundation of music theory that he discovered. The monochord, called κανών (kanōn) in Greek and regula in Latin, is a resonating box with a string stretched over it. A measurement scale is attached to the box. The device is equipped with a movable bridge, which allows the vibrating length of the string to be divided; the division can be precisely determined using the measurement scale. This enables measurement of intervals. Despite the name "monochord," which means "one-stringed," there were also multi-stringed monochords that could produce simultaneous intervals. However, it is unclear when the monochord was invented. Walter Burkert dates this achievement to a time after the era of Aristotle, who apparently did not know the device; thus, it was introduced long after Pythagoras' death.[12] On the other hand, Leonid Zhmud suggests that Pythagoras probably conducted his experiment, which led to the discovery of numerical ratios, using the monochord.[13] Hippasus of Metapontum, an early Pythagorean (late 6th and early 5th centuries BCE), conducted quantitative investigations into musical intervals. The experiment attributed to Hippasus, involving freely oscillating circular plates of varying thicknesses, is physically correct, unlike the alleged experiments of Pythagoras. It is unclear whether Archytas of Tarentum, an important Pythagorean of the 5th/4th centuries BCE, conducted relevant experiments. He was probably more of a theoretician than a practitioner in music, but he referred to the acoustic observations of his predecessors. The musical examples he cites in support of his acoustic theory involve wind instruments; he does not mention experiments with stringed instruments or individual strings. Archytas proceeded from the mistaken hypothesis that pitch depends on the speed of sound propagation and the force of impact on the sound-producing body; in reality, the speed of sound is constant in a given medium, and the force only affects the volume.[14] Interpretation of the legend Walter Burkert is of the opinion that despite its physical impossibility, the legend should not be regarded as an arbitrary invention, but rather as having a meaning that can be found in Greek mythology. The Idaean Dactyls, the mythical inventors of blacksmithing, were also, according to myth, the inventors of music. Thus, there already existed a very ancient tradition associating blacksmithing with music, in which the mythical blacksmiths were depicted as possessors of the secret of magical music. Burkert sees the legend of Pythagoras in the blacksmiths as a late transformation and rationalization of the ancient Dactyl myth: In the legend of Pythagoras, the blacksmiths no longer appear as possessors of ancient magical knowledge, but rather, without intending to, they become - albeit unknowing - "teachers" of Pythagoras.[15] In the Early Middle Ages, Isidore of Seville referred to the biblical blacksmith Tubal as the inventor of music; later authors followed him in this. This tradition once again shows the idea of a relationship between blacksmithing and music, which also appears in non-European myths and legends.[16] Tubal was the half-brother of Jubal, who was considered the ancestor of all musicians. Both were sons of Lamech and thus grandsons of Cain. In some Christian traditions of the Middle Ages, Jubal, who observed his brother Tubal, was equated with Pythagoras.[17] Another explanation is suggested by Jørgen Raasted, following Leonid Zhmud. Raasted's hypothesis states that the starting point of the legend formation was a report on the experiments of Hippasus. Hippasus used vessels called "sphaírai". This word was mistakenly confused with "sphýrai" (hammers) due to a scribal error, and instead of Hippasus' name, that of Pythagoras was used as the originator of the experiments. From this, the legend of the forge emerged.[18] https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_hammers |
伝説の内容 この伝説の最も古い記録[11]によると、紀元前6世紀に生きたピタゴラスは、コンパスや天秤で幾何学的な量を測定するように、音響知覚を測定す る手段を求めていた。4人(後のバージョンでは5人)の職人がハンマーを使って作業している鍛冶場を通りかかったとき、彼はそれぞれの打撃が異なる音程の 音を出すことに気づき、それらが組み合わさるとハーモニーが生まれることに気づいた。彼はオクターブ、5度、4度を区別することができた。4度と5度(長 2度)の音程を成す1組だけが、彼には不協和音に聞こえた。興奮した彼は鍛冶場に駆け込み、実験を行った。そこで彼は、音の高さの違いはハンマーの形や打 つ鉄の位置、打撃の力には依存しないことを発見した。むしろ、音の高さはハンマーの重さと関連していることが分かり、彼はその重さを正確に測定した。その 後、彼は家に戻り、実験を続けた。 彼は、壁の角に斜めに固定したペグに、同じ長さ、同じ強度、同じねじれの弦を4本順番に吊るし、下部に異なる重りを付けて異なる重さにした。そして、弦を 2本ずつ叩くと、鍛冶屋で聞いたのと同じ和音が響いた。最も重い12単位の重りを付けた弦と、最も軽い6単位の重りを付けた弦を組み合わせると、オクター ブが生まれた。したがって、オクターブは12:6、つまり2:1の比率に基づいていることが明らかになった。最も張りの強い弦は、2番目に緩い弦(8単 位)と5度、2番目に張りの強い弦(9単位)と4度を生み出した。このことから、5度は12:8、つまり3:2の比率に基づいていることがわかり、4度は 12:9、つまり4:3の比率に基づいていることがわかった。また、2番目に張った弦と最も緩く張った弦の比率は9:6、つまり3:2で、これは5度音程 を生み出す。そして、2番目に緩く張った弦と最も緩く張った弦の比率は8:6、つまり4:3で、これは4度音程を生み出す。5度と4度の間の不協和音程 は、9:8の比率に基づいていることが判明した。これは、鍛冶屋で行われた重量測定と一致する。オクターブは5度と4度の積であることが証明された。 ピタゴラスはその後、この実験をさまざまな楽器に拡張し、容器、笛、三角形、モノコードなどでも実験を行い、常に同じ数値比を見出した。最後に、彼は相対音高の一般的な用語を導入した。 その他の伝統 異なる整数比の長さの弦のペアのハーモニーを調査し、実証するためにモノコードを発明したピタゴラスは、彼が発見した音楽理論の数学的基礎を説明する便利 な手段を導入したと言われている。モノコードは、ギリシャ語ではカノン(kanōn)、ラテン語ではレグラ(regula)と呼ばれ、弦が張られた共鳴箱 である。測定スケールが箱に取り付けられている。この装置には可動式のこまがあり、弦の振動する長さを分割することができる。分割は測定スケールを使用し て正確に決定できる。これにより、音程を測定することができる。「モノコード」という名称は「1弦」を意味するが、同時に複数の音程を奏でることができる 多弦のモノコードも存在した。しかし、モノコードがいつ発明されたのかは不明である。ウォルター・ブルケルトは、この発明はアリストテレスの時代以降であ ると推定している。アリストテレスはモノコードを知らなかったようであり、したがって、ピタゴラスの死後かなり経ってから登場したことになる。[12] 一方、レオニード・ジュムードは、おそらくピタゴラスがモノコードを使って実験を行い、数値比の発見につながったと示唆している。[13] 初期のピタゴラス学派の一人であるヒッパソコルネス(紀元前6世紀後半から5世紀前半)は、音程の量的な調査を行った。ヒッパソコルネスに帰せられる実験 は、厚みの異なる円板を自由に振動させるもので、ピタゴラスに帰せられる実験とは異なり、物理的に正しいものである。紀元前5世紀から4世紀にかけて活躍 したピタゴラス学派の重要な人物であるタレントゥムのアルキタスが、関連する実験を行ったかどうかは不明である。彼は音楽の実践家というよりも理論家で あったと思われるが、先人たちの音響に関する観察結果を参照していた。彼が音響理論の裏付けとして挙げている音楽の例は管楽器によるものであり、弦楽器や 弦単体の実験については言及していない。アルキタスは、音の高さは音の伝播速度と音を発生させる物体への衝撃力に依存するという誤った仮説を立てた。実際 には、音の速度は与えられた媒体では一定であり、力は音量にのみ影響する。[14] 伝説の解釈 ウォルター・ブルカーは、物理的に不可能であるにもかかわらず、この伝説を恣意的な発明とみなすべきではなく、むしろギリシャ神話に見られる意味を持つも のとみなすべきであるという意見である。鍛冶の神話上の発明者であるイデア人のダクティルス族は、神話によると音楽の発明者でもあった。したがって、鍛冶 と音楽を関連付ける非常に古い伝統がすでに存在しており、その神話上の鍛冶師たちは魔法の音楽の秘密の所有者として描かれていた。ブルカートは、鍛冶屋の ピタゴラス伝説は、古代のダクティル神話の後の変容であり合理化であると見ている。ピタゴラスの伝説では、鍛冶屋はもはや古代の魔法の知識の所有者として 登場せず、むしろ、意図せずして、無意識のうちにピタゴラスの「教師」となるのである。 初期中世の時代には、セビリアのイシドールが聖書の鍛冶屋トバルを音楽の発明者として言及しており、後の著述家たちもこれに従っている。この伝統は、鍛冶 と音楽の関係という考え方を再び示しており、これはヨーロッパ以外の神話や伝説にも見られるものである。トバルは、すべての音楽家の祖先とされるユバルの 異母兄弟であった。2人ともラメクの子であり、したがってカインの孫であった。中世のキリスト教の伝統では、兄のトバルを観察していたジュバルはピタゴラ スと同一視されていた。[17] レオニード・ジュムードに続いて、ヨルゲン・ラステッドは別の説明を提案している。ラステッドの仮説では、伝説の形成の出発点はヒッパススの実験に関する 報告であったとしている。ヒッパスは「スファイライ」と呼ばれる容器を使用していた。この単語は書記の誤りで「スファイライ」(ハンマー)と誤って混同さ れ、ヒッパスの名前の代わりにピタゴラスの名前が実験の考案者として使用された。これにより、鍛冶の伝説が生まれた。[18] |
Boethius
(left) competing with Pythagoras (right, with an abacus). Depiction by
Gregor Reisch featuring an allegorical female figure carrying two books
and the inscription Typus arithmeticae, Margarita philosophica, 1508 |
ピタゴラス（右、そろばんを持つ）と競争するボエティウス（左）。グレゴール・ライシュによる、2冊の書物と「Typus arithmeticae, Margarita philosophica」の銘を持つ寓意的な女性の描写、1508年。 |
| Modern era Even in the 19th century, Hegel assumed the physical accuracy of the alleged measurements mentioned in the Pythagoras legend in his lectures on the history of philosophy.[42] Werner Heisenberg emphasized in an essay first published in 1937 that the Pythagorean "discovery of the mathematical determinacy of harmony" is based on "the idea of the meaningful power of mathematical structures," a "fundamental idea that modern exact science has inherited from antiquity"; the discovery attributed to Pythagoras belongs "to the strongest impulses of human science in general."[43] Even more recently, accounts have been published in which the legend is uncritically reproduced without reference to its physical and historical falsehood.[44] For example, in the non-fiction book The Fifth Hammer: Pythagoras and the Disharmony of the World by Daniel Heller-Roazen.[45] https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_hammers |
近代 19世紀においても、ヘーゲルは哲学史の講義の中で、ピタゴラスの伝説に登場する測定値の物理的な正確性を前提としていた。[42] ヴェルナー・ハイゼンベルクは、1937年に初めて発表されたエッセイの中で、ピタゴラスの「調和の数学的決定性に関する発見」は、「数学的構造の意義深 い力の概念」、すなわち「現代の精密科学が古代から受け継いできた基本的な考え方」に基づいていると強調している。ピタゴラスに帰属されるこの発見は、 「人間科学一般における最も強力な衝動」に属するものである。 さらに最近では、その伝説が物理的および歴史的な誤りを参照することなく、無批判に再現された記事が発表されている。[44] 例えば、ノンフィクション本『The Fifth Hammer: Pythagoras and the Disharmony of the World』(邦題『第5のハンマー:ピタゴラスと世界の不調和』)の著者ダニエル・ヘラー=ローゼンによるものなどである。[45] |
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For all undergraduate students!!!, you do not paste but [re]think my message. Remind Wittgenstein's phrase,
"I should not like my writing to spare other people the trouble of thinking. But, if possible, to stimulate someone to thoughts of his own," - Ludwig Wittgenstein
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