Pythagoras and Music
Woodcut showing Pythagoras with bells, a
kind of glass harmonica, a monochord and (organ?) pipes in Pythagorean
tuning. From Theorica musicae by Franchino Gaffurio, 1492 (1480?)
ピタゴラスと音楽
Pythagoras and Music
Woodcut showing Pythagoras with bells, a
kind of glass harmonica, a monochord and (organ?) pipes in Pythagorean
tuning. From Theorica musicae by Franchino Gaffurio, 1492 (1480?)
ピタゴラスは音階の主要な音程に対応する数比を発見したとされている[12]。彼はオクター ヴを2：1、完全五度を3：2、完全四度を4：3、そして完全五度と完全四度の差としての全音を9：8と定義した[12]。
ボエティウスは著書の『音楽教程』の冒頭にピタゴラスが音程と数比の関係を発見した経緯を記している。ある日鍛冶屋の前を通ったピタゴラスは、作業場の何 人かの職人が打っているハンマーの音が共鳴して、快い協和音を発していることに気が付いた。中に入って調べてみると、ハンマーの音程は、その重量と関係が あった。そこには五本のハンマーがあったが、四本の鎚の重さは「12 : 9 : 8 : 6」の単純な数比の関係にあることが解ったのである。単純な比になっていない他の1本のハンマーだけは、鳴らすと不協和音がした（しかし実際にはこの原理 は楽器の弦の長さの比率においては正しいが、金槌の重さには当てはまらない）。
ピタゴラスはさらに弦楽器や笛で実験し、弦の長さの比が弦の振動数の比、つまり音程の関係を支配することを発見した。ピタゴラスは発見した音程の法則を確 認するために、モノコードと呼ばれる1本のガットと自在に動かせる駒で構成される調律道具を発明したといわれる[11]。
ピタゴラスに由来するとされるもう一つの音楽に関する学説は、「天球の音楽」の理論である。これは各惑星がある楽音に対応し、それらがハーモニーを形成し
ているというものである[12]。ピタゴラスの死後、彼の信奉者は音楽理論に関する学派を形成するが、ピタゴラスの学説が古代ギリシアの音楽の実践に影響を及ぼした可能性はほとんどない
[12]。
ピタゴラス音律は周波数の比率が3：2の音程の積み重ねに基づく音律である。これは中国の三分損益法と同様である。ピタゴラスコンマはピタゴラス音律にお ける異名同音の差である。
本文２
☆ げんちゃんはこちら（genchan_tetsu.html） 【翻訳用】海豚ワイドモダン(00-Grid-modern.html) （★ワイドモダンgenD.png）
| According to legend, Pythagoras
discovered that musical notes could be translated into mathematical
equations when he passed blacksmiths at work one day and heard the
sound of their hammers clanging against the anvils.[224][225] Thinking
that the sounds of the hammers were beautiful and harmonious, except
for one,[226] he rushed into the blacksmith shop and began testing the
hammers.[226] He then realized that the tune played when the hammer
struck was directly proportional to the size of the hammer and
therefore concluded that music was mathematical.[225][226] |
伝
説によると、ピタゴラスは、ある日、仕事中の鍛冶屋の前を通りかかり、金床に打ち付けるハンマーの音を聞いたとき、音符が数式に変換できることを発見した
[224][225]。
[224][225]ハンマーの音は、ひとつを除いて美しく調和していると考え[226]、彼は鍛冶屋に駆け込み、ハンマーを試し始めた[226]。その
後彼は、ハンマーが打ったときに奏でられる曲がハンマーの大きさに正比例していることに気づき、したがって音楽は数学的であると結論づけた[225]
[226]。 |
| Pythagorean tuning
is a system of musical tuning in which the frequency ratios of all
intervals are based on the ratio 3:2.[2] This ratio, also known as the
"pure" perfect fifth, is chosen because it is one of the most consonant
and easiest to tune by ear and because of importance attributed to the
integer 3. As Novalis put it, "The musical proportions seem to me to be
particularly correct natural proportions."[3] Alternatively, it can be
described as the tuning of the syntonic temperament[1] in which the
generator is the ratio 3:2 (i.e., the untempered perfect fifth), which
is ≈ 702 cents wide. The system dates to Ancient Mesopotamia;[4] see Music of Mesopotamia § Music theory. The system is named, and has been widely misattributed, to Ancient Greeks, notably Pythagoras (sixth century BC) by modern authors of music theory, while Ptolemy, and later Boethius, ascribed the division of the tetrachord by only two intervals, called "semitonium", "tonus", "tonus" in Latin (256:243 × 9:8 × 9:8), to Eratosthenes. The so-called "Pythagorean tuning" was used by musicians up to the beginning of the 16th century. "The Pythagorean system would appear to be ideal because of the purity of the fifths, but some consider other intervals, particularly the major third, to be so badly out of tune that major chords [may be considered] a dissonance."[2] The Pythagorean scale is any scale which can be constructed from only pure perfect fifths (3:2) and octaves (2:1).[5] In Greek music it was used to tune tetrachords, which were composed into scales spanning an octave.[6] A distinction can be made between extended Pythagorean tuning and a 12-tone Pythagorean temperament. Extended Pythagorean tuning corresponds 1-on-1 with western music notation and there is no limit to the number of fifths. In 12-tone Pythagorean temperament however one is limited by 12-tones per octave and one cannot play most music according to the Pythagorean system corresponding to the enharmonic notation, instead one finds that for instance the diminished sixth becomes a "wolf fifth". |
ピ
タゴラス音律は、すべての音程の周波数比が3:2の比率に基づいている音楽の調律システムである[2]。この比率は「純粋な」完全5度としても知られ、最
も子音が多く、耳で調律するのが最も簡単であることと、整数3に重要性があることから選ばれている。ノヴァーリスが言ったように、「音楽の比率は、特に正
しい自然の比率であるように私には思える」[3]。あるいは、シントン音律[1]の調律として説明することもできる。 このシステムは古代メソポタミアに遡る[4]。一方、プトレマイオス、後のボエティウスは、ラテン語で "semitonium"、"tonus"、"tonus"（256:243×9:8×9:8）と呼ばれる、たった2つの音程によるテトラコードの分割を エラトステネスのものとした。いわゆる "ピタゴラス音律 "は、16世紀初頭まで音楽家によって使用されていた。「ピュタゴラス音律は5度の純度の高さから理想的であるように見えるが、他の音程、特に長3は調律 から大きく外れているため、長調の和音は不協和音であると考える人もいる[2]。 ピタゴラス音階とは、純粋な完全5度（3:2）とオクターブ（2:1）のみから構成できる音階のことである[5]。ギリシャ音楽では、オクターブにまたが る音階に構成されるテトラコードを調律するために使われた[6]。拡張ピタゴラス音律は西洋の楽譜と1対1で対応し、5分の1の数に制限はない。しかし、 12音ピタゴラス音律では、1オクターブあたり12音という制限があり、ほとんどの音楽をエンハーモニック譜に対応するピタゴラス音律に従って演奏するこ とはできません。 |
| 12-tone
Pythagorean temperament is based on a stack of intervals called perfect
fifths, each tuned in the ratio 3:2, the next simplest ratio after 2:1.
Starting from D for example (D-based tuning), six other notes are
produced by moving six times a ratio 3:2 up, and the remaining ones by
moving the same ratio down: E♭–B♭–F–C–G–D–A–E–B–F♯–C♯–G♯ This succession of eleven 3:2 intervals spans across a wide range of frequency (on a piano keyboard, it encompasses 77 keys). Since notes differing in frequency by a factor of 2 are perceived as similar and given the same name (octave equivalence), it is customary to divide or multiply the frequencies of some of these notes by 2 or by a power of 2. The purpose of this adjustment is to move the 12 notes within a smaller range of frequency, namely within the interval between the base note D and the D above it (a note with twice its frequency). This interval is typically called the basic octave (on a piano keyboard, an octave has only 12 keys). This dates to antiquity: in Ancient Mesopotamia, rather than stacking fifths, tuning was based on alternating ascending fifths and descending fourths (equal to an ascending fifth followed by a descending octave), resulting in the notes of a pentatonic or heptatonic scale falling within an octave. For instance, the A is tuned such that its frequency equals 3/2 times the frequency of D—if D is tuned to a frequency of 288 Hz, then A is tuned to 432 Hz. Similarly, the E above A is tuned such that its frequency equals 3/2 times the frequency of A, or 9/4 times the frequency of D—with A at 432 Hz, this puts E at 648 Hz. Since this E is outside the above-mentioned basic octave (i.e. its frequency is more than twice the frequency of the base note D), it is usual to halve its frequency to move it within the basic octave. Therefore, E is tuned to 324 Hz, a 9/8 (= one epogdoon) above D. The B at 3/2 above that E is tuned to the ratio 27:16 and so on. Starting from the same point working the other way, G is tuned as 3/2 below D, which means that it is assigned a frequency equal to 2/3 times the frequency of D—with D at 288 Hz, this puts G at 192 Hz. This frequency is then doubled (to 384 Hz) to bring it into the basic octave. When extending this tuning however, a problem arises: no stack of 3:2 intervals (perfect fifths) will fit exactly into any stack of 2:1 intervals (octaves). For instance a stack such as this, obtained by adding one more note to the stack shown above A♭–E♭–B♭–F–C–G–D–A–E–B–F♯–C♯–G♯ will be similar but not identical in size to a stack of 7 octaves. More exactly, it will be about a quarter of a semitone larger, called the Pythagorean comma. Thus, A♭ and G♯, when brought into the basic octave, will not coincide as expected. The table below illustrates this, showing for each note in the basic octave the conventional name of the interval from C (the base note), the formula to compute its frequency ratio, its size in cents, and the difference in cents (labeled 12-TET-dif in the table) between its size and the size of the corresponding one in the equally tempered scale. History and usage The system dates to Ancient Mesopotamia,[4] and consisted of alternating ascending fifths and descending fourths; see Music of Mesopotamia § Music theory. Within Ancient Greek music, the system had been mainly attributed to Pythagoras (who lived around 500 BCE) by modern authors of music theory; Ancient Greeks borrowed much of their music theory from Mesopotamia, including the diatonic scale, Pythagorean tuning, and modes. The Chinese Shí-èr-lǜ scale uses the same intervals as the Pythagorean scale and was invented between 600 BCE and 240 CE.[2][9] Because of the wolf interval when using a 12-tone Pythagorean temperament, this tuning is rarely used today, although it is thought to have been widespread. In music which does not change key very often, or which is not very harmonically adventurous, the wolf interval is unlikely to be a problem, as not all the possible fifths will be heard in such pieces. In extended Pythagorean tuning there is no wolf interval, all perfect fifths are exactly 3:2. Because most fifths in 12-tone Pythagorean temperament are in the simple ratio of 3:2, they sound very "smooth" and consonant. The thirds, by contrast, most of which are in the relatively complex ratios of 81:64 (for major thirds) and 32:27 (for minor thirds), sound less smooth depending on the instrument.[10] From about 1510 onward, as thirds came to be treated as consonances, meantone temperament, and particularly quarter-comma meantone, which tunes thirds to the relatively simple ratio of 5:4, became the most popular system for tuning keyboards. At the same time, syntonic-diatonic just intonation was posited first by Ramos and then by Zarlino as the normal tuning for singers. However, meantone presented its own harmonic challenges. Its wolf intervals proved to be even worse than those of the Pythagorean tuning (so much so that it often required 19 keys to the octave as opposed to the 12 in Pythagorean tuning). As a consequence, meantone was not suitable for all music. From around the 18th century, as the desire grew for instruments to change key, and therefore to avoid a wolf interval, this led to the widespread use of well temperaments and eventually equal temperament. Pythagorean temperament can still be heard in some parts of modern classical music from singers and from instruments with no fixed tuning such as the violin family. Where a performer has an unaccompanied passage based on scales, they will tend towards using Pythagorean intonation as that will make the scale sound best in tune, then reverting to other temperaments for other passages (just intonation for chordal or arpeggiated figures, and equal temperament when accompanied with piano or orchestra). Such changes are never explicitly notated and are scarcely noticeable to the audience, just sounding 'in tune'. https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tuning |
12
音ピタゴラス音律は、完全5分音符と呼ばれる音程の積み重ねに基づいており、それぞれが3:2の比率で調律されています。例えばDから始まり（Dベースの
調律）、他の6つの音は3:2の比率を6回上に移動することによって、残りの音は同じ比率を下に移動することによって生み出される： E♭-B♭-F-C-G-D-A-E-B-F♯-C♯-G♯ この11個の3:2音程の連続は、広い周波数範囲（ピアノの鍵盤では77鍵）にまたがっている。周波数が2の倍数だけ異なる音は類似した音として認識さ れ、同じ名前が付けられるため（オクターブ等価）、これらの音の周波数を2または2のべき乗で割ったり掛けたりするのが通例です。この間隔は通常、基本オ クターブと呼ばれる（ピアノの鍵盤では、オクターブは12鍵しかない）。古代メソポタミアでは、5度を重ねるのではなく、5度の上行音と4度の下行音（5 度の上行音とオクターブの下行音に等しい）を交互に繰り返して調律していたため、ペンタトニックやヘプタトニック・スケールの音はオクターブ内に収まって いました。 例えば、Aはその周波数がDの周波数の3/2に等しくなるように調律される。Dが288Hzの周波数に調律されるなら、Aは432Hzに調律される。同様 に、Aの上のEは、その周波数がAの周波数の3/2倍、またはDの周波数の9/4倍に等しくなるようにチューニングされている。このEは前述の基本オク ターブの外にある（つまり、その周波数は基音Dの周波数の2倍以上）ので、基本オクターブ内に移動させるために周波数を半分にするのが普通である。した がって、EはDより9/8（＝1エポグドーン）高い324Hzに調律され、そのEの3/2上のBは27:16などの比率に調律される。同じところから逆に 始めると、GはDの3/2下にチューニングされ、つまりDの周波数の2/3に等しい周波数が割り当てられる。この周波数を2倍（384Hz）にして基本オ クターブにする。 3:2の音程（完全5度音程）を積み重ねても、2:1の音程（オクターブ音程）を積み重ねても、ぴったり合うことはないからです。例えば、上のようなスタックに音を1つ追加すると、次のようなスタックになります。 a♭-e♭-b♭-f-c-g-d-a-e-b-f♯-c♯-g♯ は、7オクターブのスタックと大きさは似ていますが、同じではありません。より正確には、ピタゴラス・コンマと呼ばれる半音の4分の1ほど大きくなりま す。したがって、A♭とG♯を基本オクターブに持ってきても、予想通りには一致しません。下の表はこのことを表しており、基本オクターブの各音符につい て、C（基音）からの音程の従来の名称、その度数比を計算する式、セント単位での大きさ、その大きさと等和音階での対応する音程の大きさとのセント単位で の差（表では12-TET-difと表示）を示しています。 歴史と用法 このシステムは古代メソポタミアに起源を持ち[4]、上行する第5音と下行する第4音を交互に繰り返すものであった。古代ギリシア音楽の中では、このシス テムは主に現代の音楽理論の著者によってピタゴラス（紀元前500年頃に生きていた）のものとされていた。古代ギリシア人はダイアトニックスケール、ピタ ゴラス音律、モードなど、音楽理論の多くをメソポタミアから借りていた。中国のShí-èr-l_1音階はピタゴラス音階と同じ音程を使用しており、紀元 前600年から紀元後240年の間に発明された[2][9]。 12音ピタゴラス音律を使う場合、狼の音程になるため、この調弦は今日ではほとんど使われていないが、広く使われていたと考えられている。調をあまり頻繁 に変えない音楽や、和声的にあまり冒険的でない音楽では、オオカミ音程は問題になりにくい。拡張ピタゴラス音律では、ウルフインターバルは存在せず、すべ ての完全5分音符は正確に3:2です。 12音ピタゴラス音律では、ほとんどの5度は3:2の単純な比率であるため、非常に "滑らか "で子音的に聞こえます。これとは対照的に、3度のほとんどは81:64（大3度）と32:27（小3度）という比較的複雑な比率になっており、楽器に よってはあまり滑らかには聞こえません[10]。 1510年頃から、3度が子音として扱われるようになると、平均律、特に4分の1コンマ平均律は、3度を5:4という比較的単純な比率に調律するもので、 鍵盤を調律するための最も一般的なシステムとなった。同時に、シントニック・ディアトニック・ジャスト・イントネーションが、まずラモスによって、次にザ リーノによって、歌手のための通常の調律として提唱された。 しかし、ミーントーンには独自の和声上の課題があった。そのウルフ音程は、ピタゴラス音律よりもさらに悪いことが判明した（ピタゴラス音律の12キーに対 して、オクターブに対して19キーが必要なことが多いほど）。その結果、ミーントーンはすべての音楽に適していたわけではなかった。18世紀頃から、楽器 が調を変えること、つまり狼の音程を避けることを望むようになり、その結果、音律が広く使われるようになり、最終的には平均律が使われるようになりまし た。 ピタゴラス音律は、現代のクラシック音楽の一部で、歌手やヴァイオリンなどの調律が固定されていない楽器から、今でも聴くことができます。音階に基づく無 伴奏のパッセージがある場合、演奏者はピタゴラス音律を使う傾向があります。ピタゴラス音律は音階を最もよく調律して聴かせるからです。このような変化は 決して明確に記譜されることはなく、聴衆にはほとんど気づかれない。 |
| Pythagorean hammers According to legend, Pythagoras discovered the foundations of musical tuning by listening to the sounds of four blacksmith's hammers, which produced consonance and dissonance when they were struck simultaneously. According to Nicomachus in his 2nd-century CE Enchiridion harmonices,[1] Pythagoras noticed that hammer A produced consonance with hammer B when they were struck together, and hammer C produced consonance with hammer A, but hammers B and C produced dissonance with each other. Hammer D produced such perfect consonance with hammer A that they seemed to be "singing" the same note. Pythagoras rushed into the blacksmith shop to discover why, and found that the explanation was in the weight ratios. The hammers weighed 12, 9, 8, and 6 pounds respectively. Hammers A and D were in a ratio of 2:1, which is the ratio of the octave. Hammers B and C weighed 8 and 9 pounds. Their ratios with hammer D were (12:8 = 3:2 = perfect fifth) and (12:9 = 4:3 = perfect fourth). The space between B and C is a ratio of 9:8, which is equal to the musical whole tone, or whole step interval (Play 9/8ⓘ). The legend is, at least with respect to the hammers, demonstrably false. It is probably a Middle Eastern folk tale.[2] These proportions are indeed relevant to string length (e.g. that of a monochord) — using these founding intervals, it is possible to construct the chromatic scale and the basic seven-tone diatonic scale used in modern music, and Pythagoras might well have been influential in the discovery of these proportions (hence, sometimes referred to as Pythagorean tuning) — but the proportions do not have the same relationship to hammer weight and the tones produced by them.[3][4] However, hammer-driven chisels with equal cross-section, show an exact proportion between length or weight and Eigenfrequency.[5] Earlier sources mention Pythagoras' interest in harmony and ratio. Xenocrates (4th century BCE), while not as far as we know mentioning the blacksmith story, described Pythagoras' interest in general terms: "Pythagoras discovered also that the intervals in music do not come into being apart from number; for they are an interrelation of quantity with quantity. So he set out to investigate under what conditions concordant intervals come about, and discordant ones, and everything well-attuned and ill-tuned."[6] Whatever the details of the discovery of the relationship between music and ratio, it is regarded[7] as historically the first empirically secure mathematical description of a physical fact. As such, it is symbolic of, and perhaps leads to, the Pythagorean conception of mathematics as nature's modus operandi.[8] As Aristotle was later to write, "the Pythagoreans construct the whole universe out of numbers".[9] The Micrologus of Guido of Arezzo repeats the legend in Chapter XX.[10] |
ピタゴラスのハンマー 伝説によると、ピタゴラスは、4つの鍛冶屋のハンマーの音を聴いて、音楽の調律の基礎を発見した。紀元2世紀に書かれた『Enchiridion harmonices』[1]のニコマコスによると、ピタゴラスは、ハンマーAはハンマーBと同時に叩くと協和音を奏で、ハンマーCはハンマーAと協和音 を奏でるが、ハンマーBとCは互いに不協和音を奏でることに気づいた。ハンマーDはハンマーAと完全な協和音を作り出し、同じ音を「歌っている」ように見 えた。ピタゴラスはその理由を突き止めようと鍛冶屋に駆け込み、重さの比にその理由があることを発見した。ハンマーの重さはそれぞれ12ポンド、9ポン ド、8ポンド、6ポンドだった。ハンマーAとDの重量比は2：1で、これはオクターブの比である。ハンマーBとCの重さは8ポンドと9ポンド。ハンマーD との比率は、（12：8＝3：2＝完全5度）と（12：9＝4：3＝完全4度）であった。BとCの間隔は9:8の比率で、これは音楽的な全音、つまり全音 ステップの間隔（プレイ9/8Ɉ）に等しい。 この伝説は、少なくともハンマーに関しては、明らかに誤りである。これらの比率は、確かに弦の長さ（例えばモノコードの長さ）と関係がある。これらの創始 的な音程を使って、半音階と現代音楽で使われる基本的な7音のダイアトニックスケールを構成することが可能であり、ピタゴラスはこれらの比率の発見に影響 を与えたかもしれない（それゆえ、ピタゴラス音律と呼ばれることもある）。 [3][4]しかし、断面が等しいハンマー駆動のノミは、長さまたは重量と固有振動数の間に正確な比率を示す[5]。 それ以前の資料では、ピタゴラスが調和と比率に関心を持っていたことが述べられている。クセノクラテス（前4世紀）は、鍛冶屋の話には触れていないが、ピ タゴラスの興味を一般的な言葉で述べている： 「ピタゴラスはまた、音楽の音程は数から離れては生まれないことを発見した。音楽と比の関係の発見の詳細はともかく、それは歴史的に物理的事実の最初の経 験的に確実な数学的記述とみなされている[7]。アリストテレスが後に書いたように、「ピュタゴラスは全宇宙を数で構築している」[9]。アレッツォのグ イドのミクロログスは第XX章でこの伝説を繰り返している[10]。 |
| Contents of the legend According to the oldest recorded version[11] of the legend, Pythagoras, who lived in the 6th century BC, sought a tool to measure acoustic perceptions, similar to how geometric quantities are measured with a compass or weights with a scale. As he passed by a forge where four (according to a later version, five) craftsmen were working with hammers, he noticed that each strike produced tones of different pitch, which resulted in harmonies when paired. He was able to distinguish Octave, fifth, and fourth. Only one pair, which formed the interval between fourth and fifth (a major second), he perceived as dissonant. Excitedly, he ran into the forge to conduct experiments. There, he discovered that the difference in pitch was not dependent on the shape of the hammer, the position of the struck iron, or the force of the blow. Rather, he could associate the pitches with the weights of the hammers, which he measured precisely. He then returned home to continue the experiments. He hung four equally long, equally strong, and equally twisted strings in succession on a peg attached diagonally to the corner of the walls, weighting them differently by attaching different weights at the bottom. Then he struck the strings in pairs, and the same harmonies resonated as in the forge. The string with the heaviest load of twelve units, when paired with the least burdened string carrying six units, produced an octave. Thus, it was evident that the octave was based on the ratio 12:6, or 2:1. The most tense string yielded a fifth with the second loosest string (eight units), and a fourth with the second tightest string (nine units). From this, it followed that the fifth was based on the ratio 12:8, or 3:2, and the fourth on the ratio 12:9, or 4:3. Again, the ratio of the second tightest string to the loosest, with 9:6, or 3:2, yielded a fifth, and the ratio of the second loosest to the loosest, with 8:6, or 4:3, yielded a fourth. For the dissonant interval between fifth and fourth, it was revealed that it was based on the ratio 9:8, which coincided with the weight measurements carried out in the forge. The octave proved to be the product of the fifth and fourth: Pythagoras then extended the experiment to various instruments, experimented with vessels, flutes, triangles, the Monochord, etc., always finding the same numerical ratios. Finally, he introduced the commonly used terminology for relative pitch. Further traditions With the invention of the monochord to investigate and demonstrate the harmonies of pairs of strings with different integer length ratios, Pythagoras is said to have introduced a convenient means of illustrating the mathematical foundation of music theory that he discovered. The monochord, called κανών (kanōn) in Greek and regula in Latin, is a resonating box with a string stretched over it. A measurement scale is attached to the box. The device is equipped with a movable bridge, which allows the vibrating length of the string to be divided; the division can be precisely determined using the measurement scale. This enables measurement of intervals. Despite the name "monochord," which means "one-stringed," there were also multi-stringed monochords that could produce simultaneous intervals. However, it is unclear when the monochord was invented. Walter Burkert dates this achievement to a time after the era of Aristotle, who apparently did not know the device; thus, it was introduced long after Pythagoras' death.[12] On the other hand, Leonid Zhmud suggests that Pythagoras probably conducted his experiment, which led to the discovery of numerical ratios, using the monochord.[13] Hippasus of Metapontum, an early Pythagorean (late 6th and early 5th centuries BCE), conducted quantitative investigations into musical intervals. The experiment attributed to Hippasus, involving freely oscillating circular plates of varying thicknesses, is physically correct, unlike the alleged experiments of Pythagoras. It is unclear whether Archytas of Tarentum, an important Pythagorean of the 5th/4th centuries BCE, conducted relevant experiments. He was probably more of a theoretician than a practitioner in music, but he referred to the acoustic observations of his predecessors. The musical examples he cites in support of his acoustic theory involve wind instruments; he does not mention experiments with stringed instruments or individual strings. Archytas proceeded from the mistaken hypothesis that pitch depends on the speed of sound propagation and the force of impact on the sound-producing body; in reality, the speed of sound is constant in a given medium, and the force only affects the volume.[14] Interpretation of the legend Walter Burkert is of the opinion that despite its physical impossibility, the legend should not be regarded as an arbitrary invention, but rather as having a meaning that can be found in Greek mythology. The Idaean Dactyls, the mythical inventors of blacksmithing, were also, according to myth, the inventors of music. Thus, there already existed a very ancient tradition associating blacksmithing with music, in which the mythical blacksmiths were depicted as possessors of the secret of magical music. Burkert sees the legend of Pythagoras in the blacksmiths as a late transformation and rationalization of the ancient Dactyl myth: In the legend of Pythagoras, the blacksmiths no longer appear as possessors of ancient magical knowledge, but rather, without intending to, they become - albeit unknowing - "teachers" of Pythagoras.[15] In the Early Middle Ages, Isidore of Seville referred to the biblical blacksmith Tubal as the inventor of music; later authors followed him in this. This tradition once again shows the idea of a relationship between blacksmithing and music, which also appears in non-European myths and legends.[16] Tubal was the half-brother of Jubal, who was considered the ancestor of all musicians. Both were sons of Lamech and thus grandsons of Cain. In some Christian traditions of the Middle Ages, Jubal, who observed his brother Tubal, was equated with Pythagoras.[17] Another explanation is suggested by Jørgen Raasted, following Leonid Zhmud. Raasted's hypothesis states that the starting point of the legend formation was a report on the experiments of Hippasus. Hippasus used vessels called "sphaírai". This word was mistakenly confused with "sphýrai" (hammers) due to a scribal error, and instead of Hippasus' name, that of Pythagoras was used as the originator of the experiments. From this, the legend of the forge emerged.[18] https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_hammers |
伝説の内容 伝説の最も古い記録[11]によると、紀元前6世紀に生きたピタゴラスは、幾何学的な量をコンパスで測ったり、重さをはかりで測ったりするのと同じよう に、音響的な知覚を測る道具を探していた。彼は、4人（後世の説では5人）の職人がハンマーを使って作業している鍛冶場のそばを通りかかったとき、それぞ れの打撃が異なるピッチの音を発し、それが対になるとハーモニーになることに気づいた。彼はオクターブ、第5、第4を区別することができた。ただ1つ、4 番目と5番目の間の音程（長秒）を形成するペアだけは、不協和音として認識した。興奮した彼は、鍛冶場に駆け込んで実験を行った。そこで彼は、音程の違い はハンマーの形状や打鉄の位置、打撃の力によるものではないことを発見した。むしろ、彼はピッチをハンマーの重さに関連付けることができ、それを正確に測 定した。その後、彼は家に戻って実験を続けた。 壁の角に斜めに取り付けたペグに、同じ長さ、同じ強さ、同じねじれの4本の弦を連続して吊るした。そして弦を2本1組で叩くと、鍛冶場と同じハーモニーが 響いた。最も重い12個の重りをつけた弦と、最も軽い6個の重りをつけた弦を対にすると、オクターブが生まれた。したがって、オクターブは12：6、つま り2：1の比率に基づいていることが明らかになった。最も緊張感のある弦は、2番目に緩い弦（8単位）と5番を、2番目にきつい弦（9単位）と4番をもた らした。このことから、5番は12:8、つまり3:2の比率、4番は12:9、つまり4:3の比率に基づいていることがわかった。この場合も、2番目にき つい弦と最もゆるい弦の比率、9：6、つまり3：2で第5が得られ、2番目にゆるい弦と最もゆるい弦の比率、8：6、つまり4：3で第4が得られた。第5 と第4の間の不協和音の間隔については、9：8の比率に基づいていることが明らかになり、これは鍛冶場で行われた重量測定と一致した。オクターブは第5と 第4の積であることが判明した： ピタゴラスはその後、この実験を様々な楽器に拡張し、器、フルート、三角形、モノコードなどで実験し、常に同じ数値比を発見した。最後に、彼は一般的に使用されている相対音感の用語を導入した。 さらなる伝統 ピタゴラスは、異なる整数の長さ比を持つ弦の組のハーモニーを調べ、実証するためにモノコードを発明し、彼が発見した音楽理論の数学的基礎を説明する便利 な手段を導入したと言われている。モノコードは、ギリシャ語ではκανών（kanōn）、ラテン語ではregulaと呼ばれ、共鳴する箱に弦を張ったも のである。箱には測定用の目盛りが付いている。この装置には可動式のブリッジがあり、弦の振動長を分割することができる。これにより音程を測定することが できる。モノコード」という名称は「1本の弦」という意味だが、同時に音程を出すことができる多弦のモノコードも存在した。しかし、モノコードがいつ発明 されたのかは不明である。ウォルター・バーカートは、この功績をアリストテレスの時代以降と見なしているが、アリストテレスはこの装置を知らなかったよう であり、ピタゴラスの死後かなり経ってから導入されたことになる[12]。一方、レオニード・ジュムードは、ピタゴラスが数比の発見につながる実験をモノ コードを使って行ったのではないかと示唆している[13]。 初期のピタゴラス（前6世紀末から前5世紀初頭）であるメタポントゥムのヒッパソスは、音楽の音程について定量的な調査を行った。ヒッパソスが行ったとさ れる実験は、厚さの異なる円形の板を自由に振動させるもので、ピタゴラスが行ったとされる実験とは異なり、物理的に正しい。紀元前5～4世紀の重要なピタ ゴラス派であるタレントゥムのアルキタスが、関連する実験を行ったかどうかは不明である。彼はおそらく音楽の実践者よりも理論家であったと思われるが、先 人の音響学的観察に言及している。彼が音響理論の根拠として挙げた音楽の例は管楽器によるもので、弦楽器や個々の弦の実験については言及していない。アル キタスは、音程は音の伝搬速度と音を出す物体への衝撃力に依存するという誤った仮説から話を進めた。現実には、音速は与えられた媒質内では一定であり、力 は体積に影響するだけである[14]。 伝説の解釈 ウォルター・ブルケルトは、物理的に不可能であるにもかかわらず、この伝説は恣意的な創作ではなく、むしろギリシャ神話に見られるような意味を持つものだ と考えている。神話に登場する鍛冶の発明者イダイアン・ダクティルスは、神話によれば音楽の発明者でもあった。このように、鍛冶と音楽を結びつける非常に 古い伝統がすでに存在し、その中で神話の鍛冶職人は魔法のような音楽の秘密を持つ者として描かれていた。ブルカートは、鍛冶屋におけるピタゴラス伝説を、 古代のダクティル神話の後期的な変容と合理化であると見ている。ピタゴラス伝説において、鍛冶屋はもはや古代の魔術的知識の所有者として登場するのではな く、むしろ、意図することなく、ピタゴラスの「教師」となるのである。 中世初期には、セビリアのイシドールが聖書の鍛冶屋トゥバルを音楽の発明者として言及し、後の著者たちもこれに倣った。この伝承は、鍛冶と音楽の関係とい う考えを改めて示すもので、ヨーロッパ以外の神話や伝説にも登場する[16]。トゥバルは、すべての音楽家の祖先とされるジュバルの異母兄弟である。どち らもラメクの息子であり、カインの孫である。中世のいくつかのキリスト教の伝統では、弟のテュバルを観察していたジュバルはピタゴラスと同一視されていた [17]。 別の説明は、レオニード・ジュムドに続いてヨルゲン・ラーステッドによって提案されている。ラーステッドの仮説によれば、伝説形成の出発点はヒッパソスの 実験に関する報告であった。ヒッパソスは「スファイライ」と呼ばれる容器を使用していた。この単語が写字ミスで「スファイライ」（ハンマー）と混同され、 ヒッパソスの名前の代わりにピタゴラスの名前が実験の発案者として使われた。このことから、鍛冶屋の伝説が生まれた[18]。 |
Boethius
(left) competing with Pythagoras (right, with an abacus). Depiction by
Gregor Reisch featuring an allegorical female figure carrying two books
and the inscription Typus arithmeticae, Margarita philosophica, 1508 |
ピタゴラス（右、そろばんを持つ）と競争するボエティウス（左）。グレゴール・ライシュによる、2冊の書物と「Typus arithmeticae, Margarita philosophica」の銘を持つ寓意的な女性の描写、1508年。 |
| Modern era Even in the 19th century, Hegel assumed the physical accuracy of the alleged measurements mentioned in the Pythagoras legend in his lectures on the history of philosophy.[42] Werner Heisenberg emphasized in an essay first published in 1937 that the Pythagorean "discovery of the mathematical determinacy of harmony" is based on "the idea of the meaningful power of mathematical structures," a "fundamental idea that modern exact science has inherited from antiquity"; the discovery attributed to Pythagoras belongs "to the strongest impulses of human science in general."[43] Even more recently, accounts have been published in which the legend is uncritically reproduced without reference to its physical and historical falsehood.[44] For example, in the non-fiction book The Fifth Hammer: Pythagoras and the Disharmony of the World by Daniel Heller-Roazen.[45] https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_hammers |
近代 19世紀においても、ヘーゲルは哲学史に関する講義において、ピュタゴラス伝説で言及されている測定値の物理的正確性を仮定していた[42]。 ヴェルナー・ハイゼンベルクは1937年に初めて出版されたエッセイの中で、ピタゴラスの「調和の数学的決定性の発見」は「数学的構造の意味のある力とい う考え」に基づいており、「現代の正確な科学が古代から受け継いできた基本的な考え」であり、ピタゴラスに起因する発見は「人類の科学全般の最も強い衝動 に属する」と強調している[43]。 さらに最近では、その物理的・歴史的な虚偽に言及することなく、伝説を無批判に再現した記述が出版されている[44]。例えば、ノンフィクション本 『The Fifth Hammer： Daniel Heller-Roazenによる『The Fifth Hammer: Pythagoras and the Disharmony of the World』である[45]。 |
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For all undergraduate students!!!, you do not paste but [re]think my message. Remind Wittgenstein's phrase,
"I should not like my writing to spare other people the trouble of thinking. But, if possible, to stimulate someone to thoughts of his own," - Ludwig Wittgenstein
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