ループ量子重力論の歴史
ループ量子重力論の歴史
☆History of loop quantum gravity（ループ量子重力論の歴史）
| Loop quantum
gravity (LQG) is a theory of quantum gravity that incorporates
matter of the Standard Model into the framework established for the
intrinsic quantum gravity case. It is an attempt to develop a quantum theory of gravity based directly on Albert Einstein's geometric formulation, general relativity. As a theory, LQG postulates that the structure of space and time is composed of finite loops woven into an extremely fine fabric or network. These networks of loops are called spin networks. The evolution of a spin network, or spin foam, has a scale on the order of a Planck length, approximately 10−35 meters, and smaller scales are meaningless. Consequently, not just matter, but space itself, prefers an atomic structure. The areas of research, which involve about 30 research groups worldwide,[1] share the basic physical assumptions and the mathematical description of quantum space. Research has evolved in two directions: the more traditional canonical loop quantum gravity, and the newer covariant loop quantum gravity, called spin foam theory. The most well-developed theory that has been advanced as a direct result of loop quantum gravity is called loop quantum cosmology (LQC). LQC advances the study of the early universe, incorporating the concept of the Big Bang into the broader theory of the Big Bounce, which envisions the Big Bang as the beginning of a period of expansion, that follows a period of contraction, which has been described as the Big Crunch. |
ループ量子重力理論（LQG）は、標準模型の物質を、本質的な量子重力
の場合のために確立された枠組みに組み込んだ量子重力理論である。 これは、アルバート・アインシュタインの幾何学的定式化である一般相対性理論に直接基づいて、量子重力理論を発展させようとする試みである。理論として、 LQGは時空の構造が極めて微細な織物やネットワークに織り込まれた有限ループで構成されていると仮定する。これらのループのネットワークはスピンネット ワークと呼ばれる。スピンネットワーク、すなわちスピンフォームの進化はプランク長（約10−35メートル）のオーダーのスケールを持ち、それより小さい スケールは無意味である。結果として、物質だけでなく空間そのものが原子構造を好む。 世界中の約30の研究グループが関わるこの研究分野は、基本的な物理的前提と量子空間の数学的記述を共有している。研究は二方向に進展した：より伝統的な 標準ループ量子重力理論と、新しい共変ループ量子重力理論（スピンフォーム理論と呼ばれる）。ループ量子重力の直接的な成果として最も発展した理論は、 ループ量子宇宙論（LQC）と呼ばれる。LQCは初期宇宙の研究を推進し、ビッグバン概念をビッグバウンス理論というより広範な枠組みに組み込む。この理 論では、ビッグバンは収縮期（ビッグクランチ）に続く膨張期の始まりと位置づけられる。 |
| History Main article: History of loop quantum gravity In 1986, Abhay Ashtekar reformulated Einstein's general relativity in a language closer to that of the rest of fundamental physics, specifically Yang–Mills theory.[2] Shortly after, Ted Jacobson and Lee Smolin realized that the formal equation of quantum gravity, called the Wheeler–DeWitt equation, admitted solutions labelled by loops when rewritten in the new Ashtekar variables. Carlo Rovelli and Smolin defined a nonperturbative and background-independent quantum theory of gravity in terms of these loop solutions. Jorge Pullin and Jerzy Lewandowski understood that the intersections of the loops are essential for the consistency of the theory, and the theory should be formulated in terms of intersecting loops, or graphs. In 1994, Rovelli and Smolin showed that the quantum operators of the theory associated to area and volume have a discrete spectrum.[3] That is, geometry is quantized. This result defines an explicit basis of states of quantum geometry, which turned out to be labelled by Roger Penrose's spin networks, which are graphs labelled by spins. The canonical version of the dynamics was established by Thomas Thiemann, who defined an anomaly-free Hamiltonian operator and showed the existence of a mathematically consistent background-independent theory. The covariant, or "spin foam", version of the dynamics was developed jointly over several decades by research groups in France, Canada, UK, Poland, and Germany. It was completed in 2008, leading to the definition of a family of transition amplitudes, which in the classical limit can be shown to be related to a family of truncations of general relativity.[4] The finiteness of these amplitudes was proven in 2011.[5][6] It requires the existence of a positive cosmological constant, which is consistent with observed acceleration in the expansion of the Universe. |
歴史 主な記事：ループ量子重力理論の歴史 1986年、アベイ・アシュテカーは、アインシュタインの一般相対性理論を、他の基礎物理学、特にヤン・ミルズ理論の言語に近い形で再定式化した[2]。 その直後、テッド・ジェイコブソンとリー・スモーリンは、ウィーラー・デウィット方程式と呼ばれる量子重力の形式的な方程式が、新しいアシュテカー変数で 書き直すと、ループでラベル付けされた解を認めることに気づいた。カルロ・ロヴェッリとスモーリンは、これらのループ解を用いて、非摂動的で背景に依存し ない量子重力理論を定義した。ホルヘ・プリンとイェジ・レヴァンドフスキは、ループの交点が理論の一貫性にとって不可欠であり、理論は交差するループ、す なわちグラフを用いて定式化されるべきであると理解した。 1994年、ロヴェッリとスモーリンは、面積と体積に関連する理論の量子演算子が離散的なスペクトルを持つことを示した[3]。つまり、幾何学は量子化さ れる。この結果は、量子幾何学の状態の明確な基礎を定義するものであり、それはロジャー・ペンローズのスピンネットワーク、すなわちスピンでラベル付けさ れたグラフによってラベル付けされることが判明した。 この力学の標準的なバージョンは、トーマス・ティーマンによって確立された。彼は、異常のないハミルトン演算子を定義し、数学的に一貫した背景独立の理論 の存在を示した。この力学の共変的な、あるいは「スピンフォーム」のバージョンは、フランス、カナダ、イギリス、ポーランド、ドイツの研究グループによっ て数十年にわたって共同で開発された。これは 2008 年に完成し、遷移振幅の族の定義につながった。これは、古典的な限界では、一般相対性理論の切り捨ての族に関連していることが示される。[4] これらの振幅の有限性は 2011 年に証明された。[5][6] これは、宇宙の膨張における観測された加速と一致する、正の宇宙定数の存在を必要とする。 |
| Background independence LQG is formally background independent, meaning the equations of LQG are not embedded in, or dependent on, space and time (except for its invariant topology). Instead, they are expected to give rise to space and time at distances which are 10 times the Planck length. The issue of background independence in LQG still has some unresolved subtleties. For example, some derivations require a fixed choice of the topology, while any consistent quantum theory of gravity should include topology change as a dynamical process.[citation needed] Spacetime as a "container" over which physics takes place has no objective physical meaning and instead the gravitational interaction is represented as just one of the fields forming the world. This is known as the relationalist interpretation of spacetime. In LQG this aspect of general relativity is taken seriously and this symmetry is preserved by requiring that the physical states remain invariant under the generators of diffeomorphisms. The interpretation of this condition is well understood for purely spatial diffeomorphisms. However, the understanding of diffeomorphisms involving time (the Hamiltonian constraint) is more subtle because it is related to dynamics and the so-called "problem of time" in general relativity.[7] A generally accepted calculational framework to account for this constraint has yet to be found.[8][9] A plausible candidate for the quantum Hamiltonian constraint is the operator introduced by Thiemann.[10] |
背景独立性 LQGは形式的に背景独立である。つまりLQGの方程式は、不変の位相を除き、時空に埋め込まれておらず、時空に依存しない。代わりに、それらはプランク 長度の10倍の距離において時空を生み出すと予想される。LQGにおける背景独立性の問題には、未解決の微妙な点が残っている。例えば、一部の導出ではト ポロジーの固定選択が必要となるが、一貫した量子重力理論はトポロジー変化を動的過程として包含すべきである。[出典必要] 物理現象が展開される「容器」としての時空は客観的物理的意味を持たず、代わりに重力相互作用は世界を構成する場の一つとして表現される。これは時空の関 係論的解釈として知られる。LQG では、一般相対性理論のこの側面が真剣に受け止められており、この対称性は、物理状態が微分同相変換の生成元の下で不変であるということを要求することに よって保たれている。この条件の解釈は、純粋に空間的な微分同相変換についてはよく理解されている。しかし、時間を含む微分同相変換（ハミルトニアン制 約）の理解は、一般相対性理論における力学およびいわゆる「時間の問題」に関連しているため、より微妙である。この制約を説明するための、一般に受け入れ られている計算の枠組みはまだ見出されていない。量子ハミルトニアン制約の有力な候補は、ティーマンが導入した演算子である。 |
| Citations 1. Rovelli 2008. 2. Ashtekar, Abhay (3 November 1986). "New Variables for Classical and Quantum Gravity". Physical Review Letters. 57 (18): 2244–2247. Bibcode:1986PhRvL..57.2244A. doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID 10033673. 3. Rovelli, Carlo; Smolin, Lee (1995). "Discreteness of area and volume in quantum gravity". Nuclear Physics B. 442 (3): 593–619. arXiv:gr-qc/9411005. Bibcode:1995NuPhB.442..593R. doi:10.1016/0550-3213(95)00150-Q. 4. Rovelli 2011. 5. Muxin 2011, p. 064010. 6. Fairbairn & Meusburger 2011. 7. Kauffman & Smolin 1997. 8. Smolin 2006, pp. 196ff. 9. Rovelli 2004[2003?], pp. 13ff. 10. Thiemann 1996, pp. 257–264. |
引用文献 1. Rovelli 2008. 2. Ashtekar, Abhay (1986年11月3日). 「New Variables for Classical and Quantum Gravity」. Physical Review Letters. 57 (18): 2244–2247. Bibcode:1986PhRvL..57.2244A. doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID 10033673. 3. ロヴェッリ, カルロ; スモーリン, リー (1995). 「量子重力における面積と体積の離散性」. 核物理学B. 442 (3): 593–619. arXiv:gr-qc/9411005. Bibcode:1995NuPhB.442..593R. doi:10.1016/0550-3213(95)00150-Q. 4. Rovelli 2011. 5. Muxin 2011, p. 064010. 6. フェアベーン＆メウスバーガー 2011. 7. カウフマン＆スモーリン 1997. 8. スモーリン 2006, pp. 196ff. 9. ロヴェッリ 2004, pp. 13ff. 10. ティーマン 1996, pp. 257–264. |
| Rovelli, Carlo (August 2008).
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ロヴェッリ、カルロ（2008年8月）。「ループ量子重力理論」
(PDF)。Living Reviews in
Relativity。11巻1号、5頁。Bibcode:2008LRR....11....5R。doi:10.12942/lrr-2008-5。
PMC 5256093。PMID 28179822 ロヴェッリ、カルロ (2011). 「ループ重力に関するザコパネ講義」. arXiv:1102.3660 [gr-qc]. ムクシン、H. (2011). 「ループ量子重力頂点振幅における宇宙定数」. Physical Review D. 84 (6) 064010. arXiv:1105.2212. Fairbairn, W. J.; Meusburger, C. (2011). 「ローレンツスピンフォームモデルのq変形」. arXiv:1112.2511 [gr-qc]. カウフマン, S.; スモーリン, L. (1997年4月7日). 「量子宇宙論における時間問題の解決策の可能性」. Edge.org. スモーリン, リー (2006). 「背景独立性の主張」. リクルズ, D.; フレンチ, S.; サーツィ, J. T. (編). 『量子重力の構造的基礎』. クラレンドン・プレス. pp. 196ff. arXiv:hep-th/0507235. Bibcode:2005hep.th....7235S. ISBN 978-0-19-926969-3. ロヴェッリ、カルロ (2003). 「量子重力に関する対話」. 国際現代物理学ジャーナル D. 12 (9): 1509–1528. arXiv:hep-th/0310077. Bibcode:2003IJMPD..12.1509R. doi:10.1142/S0218271803004304. S2CID 119406493. ティーマン, トーマス (1996). 「非摂動的4次元ローレンツ量子重力の異常のない定式化」. 物理学レターB. 380 (3–4): 257–264. arXiv:gr-qc/9606088. Bibcode:1996PhLB..380..257T. doi:10.1016/0370-2693(96)00532-1. S2CID 8691449. |
| https://en.wikipedia.org/wiki/Loop_quantum_gravity | |
| The history
of loop quantum gravity spans more than three decades of intense
research. |
ループ量子重力理論の歴史は、30年以上にわたる激しい研究の積み重ね
である。 |
| History Classical theories of gravitation General relativity is the theory of gravitation published by Albert Einstein in 1915. According to it, the force of gravity is a manifestation of the local geometry of spacetime. Mathematically, the theory is modelled after Bernhard Riemann's metric geometry, but the Lorentz group of spacetime symmetries (an essential ingredient of Einstein's own theory of special relativity) replaces the group of rotational symmetries of space. (Later, loop quantum gravity inherited this geometric interpretation of gravity, and posits that a quantum theory of gravity is fundamentally a quantum theory of spacetime.) In the 1920s, the French mathematician Élie Cartan formulated Einstein's theory in the language of bundles and connections,[1] a generalization of Riemannian geometry to which Cartan made important contributions. The so-called Einstein–Cartan theory of gravity not only reformulated but also generalized general relativity, and allowed spacetimes with torsion as well as curvature. In Cartan's geometry of bundles, the concept of parallel transport is more fundamental than that of distance, the centerpiece of Riemannian geometry. A similar conceptual shift occurs between the invariant interval of Einstein's general relativity and the parallel transport of Einstein–Cartan theory. |
歴史 重力の古典理論 一般相対性理論は、1915年にアルバート・アインシュタインが発表した重力理論である。これによれば、重力は時空の局所的な幾何学的性質の現れである。 数学的には、この理論はベルンハルト・リーマンの計量幾何学をモデルとしているが、時空の回転対称性群（アインシュタイン自身の特殊相対性理論の重要な要 素）が空間の回転対称性群に取って代わっている。（後に、ループ量子重力は重力のこの幾何学的解釈を継承し、重力の量子理論は根本的に時空の量子理論であ ると提唱した。） 1920年代、フランスの数学者エリー・カルタンは、束と接続の言語を用いてアインシュタインの理論を定式化した[1]。これはリーマン幾何学の一般化で あり、カルタンはこれに重要な貢献をした。いわゆるアインシュタイン＝カルタン重力理論は、一般相対性理論を再定式化しただけでなく一般化し、曲率だけで なくねじれを持つ時空を許容した。カルタンの束の幾何学において、平行移送の概念は距離の概念よりも根本的である。距離はリーマン幾何学の中心概念であっ た。同様の概念的転換が、アインシュタインの一般相対性理論における不変区間と、アインシュタイン＝カルタン理論における平行移送との間でも生じている。 |
| Spin networks In 1971, physicist Roger Penrose explored the idea of space arising from a quantum combinatorial structure.[2][3] His investigations resulted in the development of spin networks. Because this was a quantum theory of the rotational group and not the Lorentz group, Penrose went on to develop twistors.[4] |
スピンネットワーク 1971年、物理学者ロジャー・ペンローズは空間が量子組合せ構造から生じるという考えを探求した[2][3]。彼の研究はスピンネットワークの構築へと つながった。これは回転群の量子理論であってローレンツ群の理論ではなかったため、ペンローズはその後ツイスター理論を発展させた[4]。 |
| Loop quantum gravity In 1982, Amitabha Sen tried to formulate a Hamiltonian formulation of general relativity based on spinorial variables, where these variables are the left and right spinorial component equivalents of Einstein–Cartan connection of general relativity.[5] Particularly, Sen discovered a new way to write down the two constraints of the ADM Hamiltonian formulation of general relativity in terms of these spinorial connections. In his form, the constraints are simply conditions that the spinorial Weyl curvature is trace free and symmetric. He also discovered the presence of new constraints which he suggested to be interpreted as the equivalent of Gauss constraint of Yang–Mills field theories. But Sen's work fell short of giving a full clear systematic theory and particularly failed to clearly discuss the conjugate momenta to the spinorial variables, its physical interpretation, and its relation to the metric (in his work he indicated this as some lambda variable). In 1986–87, physicist Abhay Ashtekar completed the project which Amitabha Sen began. He clearly identified the fundamental conjugate variables of spinorial gravity: The configuration variable is as a spinoral connection (a rule for parallel transport; technically, a connection) and the conjugate momentum variable is a coordinate frame (called a vierbein) at each point.[6][7] So these variable became what we know as Ashtekar variables, a particular flavor of Einstein–Cartan theory with a complex connection. General relativity theory expressed in this way, made possible to pursue quantization of it using well-known techniques from quantum gauge field theory. The quantization of gravity in the Ashtekar formulation was based on Wilson loops, a technique developed by Kenneth G. Wilson in 1974[8] to study the strong-interaction regime of quantum chromodynamics (QCD). It is interesting in this connection that Wilson loops were known to be ill-behaved in the case of standard quantum field theory on (flat) Minkowski space, and so did not provide a nonperturbative quantization of QCD. However, because the Ashtekar formulation was background-independent, it was possible to use Wilson loops as the basis for nonperturbative quantization of gravity. Due to efforts by Sen and Ashtekar, a setting in which the Wheeler–DeWitt equation was written in terms of a well-defined Hamiltonian operator on a well-defined Hilbert space was obtained. This led to the construction of the first known exact solution, the so-called Chern–Simons form or Kodama state. The physical interpretation of this state remains obscure. In 1988–90, Carlo Rovelli and Lee Smolin obtained an explicit basis of states of quantum geometry, which turned out to be labeled by Penrose's spin networks.[9][10] In this context, spin networks arose as a generalization of Wilson loops necessary to deal with mutually intersecting loops. Mathematically, spin networks are related to group representation theory and can be used to construct knot invariants such as the Jones polynomial. Loop quantum gravity (LQG) thus became related to topological quantum field theory and group representation theory. In 1994, Rovelli and Smolin showed that the quantum operators of the theory associated to area and volume have a discrete spectrum.[11] Work on the semi-classical limit, the continuum limit, and dynamics was intense after this, but progress was slower. On the semi-classical limit front, the goal is to obtain and study analogues of the harmonic oscillator coherent states (candidates are known as weave states). |
ループ量子重力 1982年、アミターバ・センは、スピン変数に基づく一般相対性理論のハミルトニアン定式化を試みた。このスピン変数は、一般相対性理論のアイシュタイ ン・カルタン結合の左右スピン成分に相当するものである[5]。特に、センは、一般相対性理論のADMハミルトニアン定式化の2つの制約を、これらのスピ ン結合を用いて記述する新しい方法を発見した。彼の形式では、制約は単にスピノリアル・ワイル曲率がトレースフリーで対称であるという条件である。また、 彼は、ヤン・ミルズ場理論のガウス制約と同等と解釈できる新しい制約の存在を発見した。しかし、センの研究は、完全で明確な体系的な理論を提示するには至 らず、特に、スピノリアル変数に対する共役運動量、その物理的解釈、およびメトリックとの関係について明確に論じることに失敗した（彼の研究では、これを あるラムダ変数として示していた）。 1986年から1987年にかけて、物理学者アビ・アシュテカルは、アミタブ・センが始めたプロジェクトを完成させた。彼は、スピノリアル重力の基本的な 共役変数を明確に特定した。構成変数はスピノリアル接続（平行輸送の規則、技術的には接続）であり、共役運動量変数は各点における座標系 （vierbein と呼ばれる）である。[6][7] したがって、これらの変数は、アシュテカー変数として知られるもの、つまり、複素接続を持つアインシュタイン・カルタン理論の特定の形態となった。このよ うに表現された一般相対性理論は、量子ゲージ場理論のよく知られた手法を用いてその量子化を追求することを可能にした。 アシュテカーの定式化における重力の量子化は、1974年にケネス・G・ウィルソンが量子色力学（QCD）の強相互作用領域を研究するために開発した手法 であるウィルソンループに基づいていた[8]。この点に関して興味深いのは、ウィルソンループは（平坦な）ミンコフスキー空間上の標準的な量子場理論の場 合、挙動が不安定であることが知られており、QCD の非摂動的量子化には利用できなかったことだ。しかし、アシュテカーの定式化は背景に依存しないため、ウィルソンループを重力の非摂動的量子化の基礎とし て利用することが可能であった。 センとアシュテカーの努力により、ウィーラー・デウィット方程式が、明確に定義されたヒルベルト空間上の明確に定義されたハミルトニアン演算子を用いて記 述される設定が得られた。これにより、最初の既知の正確な解、いわゆるチェルン・サイモンズ形式またはコダマ状態が構築された。この状態の物理的解釈は依 然として不明である。 1988年から1990年にかけて、カルロ・ロヴェッリとリー・スモーリンは、量子幾何学の状態の明示的な基底を得た。これは、ペンローズのスピンネット ワークによってラベル付けされることが判明した[9][10]。この文脈では、スピンネットワークは、相互に交差するループを扱うために必要なウィルソン ループの一般化として生じた。数学的には、スピンネットワークは群の表現論に関連しており、ジョーンズ多項式などの結び目不変量を構築するために使用する ことができる。こうして、ループ量子重力理論（LQG）は、位相的量子場理論および群の表現論に関連するものとなった。 1994年、ロヴェッリとスモーリンは、面積と体積に関連する理論の量子演算子が離散スペクトルを持つことを示した[11]。その後、半古典的限界、連続 限界、および力学に関する研究が活発に行われたが、その進展は遅かった。 半古典的限界の分野では、調和振動子のコヒーレント状態（候補はウィーブ状態として知られている）の類似体を取得し、研究することが目標である。 |
| Hamiltonian dynamics LQG was initially formulated as a quantization of the Hamiltonian ADM formalism, according to which the Einstein equations are a collection of constraints (Gauss, Diffeomorphism and Hamiltonian). The kinematics are encoded in the Gauss and Diffeomorphism constraints, whose solution is the space spanned by the spin network basis. The problem is to define the Hamiltonian constraint as a self-adjoint operator on the kinematical state space. The most promising work[according to whom?] in this direction is Thomas Thiemann's Phoenix Project.[12] |
ハミルトン力学 LQG は当初、ハミルトン ADM 形式の量子化として定式化された。これによれば、アインシュタイン方程式は一連の制約（ガウス、微分同相、ハミルトン）の集合である。運動学はガウス制約 と微分同相制約にコード化されており、その解はスピンネットワーク基底によって生成される空間である。問題は、運動学的状態空間上で自己共役演算子として ハミルトニアン制約を定義することである。この方向性で最も有望な研究は、トーマス・ティーマンのフェニックス・プロジェクトである。 |
| Covariant dynamics Much of the recent[as of?] work in LQG has been done in the covariant formulation of the theory, called "spin foam theory." The present version of the covariant dynamics is due to the convergent work of different groups, but it is commonly named after a paper by Jonathan Engle, Roberto Pereira and Carlo Rovelli in 2007–08.[13] Heuristically, it would be expected that evolution between spin network states might be described by discrete combinatorial operations on the spin networks, which would then trace a two-dimensional skeleton of spacetime. This approach is related to state-sum models of statistical mechanics and topological quantum field theory such as the Turaeev–Viro model of 3D quantum gravity, and also to the Regge calculus approach to calculate the Feynman path integral of general relativity by discretizing spacetime. |
共変力学 LQGにおける最近の研究の多くは、「スピンフォーム理論」と呼ばれる共変形式で進められている。現在の共変力学の形式は、異なる研究グループの収束した 成果によるものであるが、一般にジョナサン・エングル、ロベルト・ペレイラ、カルロ・ロヴェッリによる2007-08年の論文に因んで名付けられている [13]。直観的には、スピンネットワーク状態間の進化は、スピンネットワークに対する離散的組み合わせ操作によって記述され、それが時空の二次元骨格を トレースすると予想される。このアプローチは、統計力学の状態和モデルや、3次元量子重力のトゥラエフ・ヴィロモデルなどのトポロジカル量子場理論に関連 している。また、時空を離散化することで一般相対性理論のファインマン経路積分を計算するレッジェ計算法のアプローチとも関連している。 |
| History
of string theory |
弦理論の歴史 |
| References 1. Élie Cartan. "Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces à torsion." C. R. Acad. Sci. (Paris) 174, 593–595 (1922); Élie Cartan. "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée." Part I: Ann. Éc. Norm. 40, 325–412 (1923) and ibid. 41, 1–25 (1924); Part II: ibid. 42, 17–88 (1925). 2. Penrose, Roger (1971). "Applications of negative dimensional tensors". Combinatorial Mathematics and its Applications. Academic Press. ISBN 0-12-743350-3. 3. Penrose, Roger (1971). "Angular momentum: an approach to combinatorial space-time". In Bastin, Ted (ed.). Quantum Theory and Beyond. Cambridge University Press. ISBN 0-521-07956-X. 4. Penrose, Roger (1987). "On the Origins of Twistor Theory". In Rindler, Wolfgang; Trautman, Andrzej (eds.). Gravitation and Geometry, a Volume in Honour of Ivor Robinson. Bibliopolis. ISBN 88-7088-142-3. 5. Amitabha Sen, "Gravity as a spin system," Phys. Lett. B119:89–91, December 1982. 6. Abhay Ashtekar, "New variables for classical and quantum gravity," Phys. Rev. Lett., 57, 2244-2247, 1986. 7. Abhay Ashtekar, "New Hamiltonian formulation of general relativity," Phys. Rev. D36, 1587-1602, 1987. 8. Wilson, K. (1974). "Confinement of quarks". Physical Review D. 10 (8): 2445. Bibcode:1974PhRvD..10.2445W. doi:10.1103/PhysRevD.10.2445. 9. Carlo Rovelli and Lee Smolin, "Knot theory and quantum gravity," Phys. Rev. Lett., 61 (1988) 1155. 10. Carlo Rovelli and Lee Smolin, "Loop space representation of quantum general relativity," Nuclear Physics B331 (1990) 80-152. 11. Carlo Rovelli, Lee Smolin, "Discreteness of area and volume in quantum gravity" (1994): arXiv:gr-qc/9411005. 12. Thiemann, T (2006). "The Phoenix Project: Master constraint programme for loop quantum gravity". Classical and Quantum Gravity. 23 (7): 2211–2247. arXiv:gr-qc/0305080. Bibcode:2006CQGra..23.2211T. doi:10.1088/0264-9381/23/7/002. S2CID 16304158. 13. Jonathan Engle, Roberto Pereira, Carlo Rovelli, "Flipped spinfoam vertex and loop gravity". Nucl. Phys. B798 (2008). 251–290. arXiv:0708.1236. |
参考文献 1. Élie Cartan. 「リーマン曲率の概念の一般化とねじれ空間について」 C. R. Acad. Sci. (Paris) 174, 593–595 (1922); Élie Cartan. 「アフィン接続を持つ多様体と一般相対性理論について」 Part I: Ann. Éc. Norm. 40, 325–412 (1923) および同上 41, 1–25 (1924); Part II: 同上 42, 17–88 (1925)。 2. ペンローズ、ロジャー (1971)。「負の次元テンソルの応用」。Combinatorial Mathematics and its Applications. Academic Press. ISBN 0-12-743350-3. 3. ペンローズ、ロジャー (1971). 「角運動量：組み合わせ時空へのアプローチ」. バスティン、テッド (編). Quantum Theory and Beyond. Cambridge University Press. ISBN 0-521-07956-X. 4. ペンローズ、ロジャー（1987）。「ツイスター理論の起源について」。リンドラー、ウォルフガング、トラウトマン、アンジェイ（編）。『重力と幾何学、 アイヴァー・ロビンソンに捧げる一冊』。ビブリオポリス。ISBN 88-7088-142-3。 5. Amitabha Sen, 「Gravity as a spin system,」 Phys. Lett. B119:89–91, December 1982. 6. Abhay Ashtekar, 「New variables for classical and quantum gravity,」 Phys. Rev. Lett., 57, 2244-2247, 1986. 7. Abhay Ashtekar, 「New Hamiltonian formulation of general relativity,」 Phys. Rev. D36, 1587-1602, 1987. 8. Wilson, K. (1974). 「Confinement of quarks」. Physical Review D. 10 (8): 2445. Bibcode:1974PhRvD..10.2445W. doi:10.1103/PhysRevD.10.2445. 9. Carlo Rovelli and Lee Smolin, 「Knot theory and quantum gravity,」 Phys. Rev. Lett., 61 (1988) 1155. 10. カルロ・ロヴェッリ、リー・スモーリン、「量子一般相対性理論のループ空間表現」、Nuclear Physics B331 (1990) 80-152。 11. カルロ・ロヴェッリ、リー・スモーリン、「量子重力における面積と体積の離散性」 (1994): arXiv:gr-qc/9411005。 12. ティーマン、T (2006)。「フェニックス・プロジェクト：ループ量子重力のためのマスター制約プログラム」。古典および量子重力。23 (7): 2211–2247。arXiv:gr-qc/0305080。Bibcode:2006CQGra..23.2211T. doi:10.1088/0264-9381/23/7/002. S2CID 16304158. 13. Jonathan Engle、Roberto Pereira、Carlo Rovelli、「反転スピンフォーム頂点とループ重力」。Nucl. Phys. B798 (2008)。251–290。arXiv:0708.1236。 |
| Further reading Topical reviews Carlo Rovelli, "Loop Quantum Gravity," Living Reviews in Relativity 1, (1998), 1, online article, 2001 version. Thomas Thiemann, "Lectures on Loop Quantum Gravity," e-print available as gr-qc/0210094 Abhay Ashtekar and Jerzy Lewandowski, "Background Independent Quantum Gravity: A Status Report," e-print available as gr-qc/0404018 Carlo Rovelli and Marcus Gaul, "Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance," e-print available as gr-qc/9910079. Lee Smolin, "The Case for Background Independence," e-print available as hep-th/0507235. Popular books Julian Barbour, The End of Time: The Next Revolution in Our Understanding of the Universe (1999). Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity (2001). Carlo Rovelli, Che cos'è il tempo? Che cos'è lo spazio?, Di Renzo Editore, Roma, 2004. French translation: Qu'est ce que le temps? Qu'est ce que l'espace?, Bernard Gilson ed, Brussel, 2006. English translation: What is Time? What is space?, Di Renzo Editore, Roma, 2006. Magazine articles Lee Smolin, "Atoms in Space and Time", Scientific American, January 2004. Easier introductory, expository or critical works Abhay Ashtekar, "Gravity and the Quantum," e-print available as gr-qc/0410054. John C. Baez and Javier P. Muniain, Gauge Fields, Knots and Quantum Gravity, World Scientific (1994). Carlo Rovelli, "A Dialog on Quantum Gravity," e-print available as hep-th/0310077. More advanced introductory/expository works Carlo Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge University Press (2004); draft available online. Thomas Thiemann, "Introduction to Modern Canonical Quantum General Relativity," e-print available as gr-qc/0110034. Abhay Ashtekar, New Perspectives in Canonical Gravity, Bibliopolis (1988). Abhay Ashtekar, Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity, World Scientific (1991). Rodolfo Gambini and Jorge Pullin, Loops, Knots, Gauge Theories and Quantum Gravity, Cambridge University Press (1996). Hermann Nicolai, Kasper Peeters, Marija Zamaklar, "Loop Quantum Gravity: An Outside View," e-print available as hep-th/0501114. "Loop and Spin Foam Quantum Gravity: A Brief Guide for beginners" arXiv:hep-th/0601129 H. Nicolai and K. Peeters. Edward Witten, "Quantum Background Independence In String Theory," e-print available as hep-th/9306122. Conference proceedings John C. Baez (ed.), Knots and Quantum Gravity (1993). |
さらに読む トピックレビュー Carlo Rovelli, 「Loop Quantum Gravity,」 Living Reviews in Relativity 1, (1998), 1, オンライン記事、2001年版。 Thomas Thiemann, 「Lectures on Loop Quantum Gravity,」 e-print gr-qc/0210094 アベイ・アシュテカーとイェジ・レヴァンドフスキ、「背景独立量子重力：現状報告」、電子版は gr-qc/0404018 として入手可能。 カルロ・ロヴェッリとマーカス・ゴール、「ループ量子重力と微分同相不変性の意味」、電子版は gr-qc/9910079 として入手可能。 リー・スモーリン、「背景独立性の主張」、e-print は hep-th/0507235 として入手可能。 一般向け書籍 ジュリアン・バーバー、『時間の終わり：宇宙の理解における次の革命』（1999年）。 リー・スモーリン、『量子重力への三つの道』（2001年）。 カルロ・ロヴェッリ『時間とは何か？空間とは何か？』（Di Renzo Editore, ローマ, 2004年）。仏訳：ベルナール・ジルソン編『時間とは何か？空間とは何か？』（Brussel, 2006年）。英訳：ロレンツォ・ディ・レンツォ社刊『時間とは何か？空間とは何か？』（ローマ, 2006年）。 雑誌記事 リー・スモーリン「時空における原子」『サイエンティフィック・アメリカン』2004年1月号。 入門的・解説的・批判的著作 アベイ・アシュテカー「重力と量子」電子版はgr-qc/0410054として入手可能。 ジョン・C・ベイズとハビエル・P・ムニアイン共著『ゲージ場、結び目、量子重力』ワールドサイエンティフィック社（1994年）。 カルロ・ロヴェッリ「量子重力に関する対話」電子版はhep-th/0310077として入手可能。 より高度な入門・解説書 カルロ・ロヴェッリ『量子重力』ケンブリッジ大学出版局（2004年）；オンラインで草稿が入手可能。 トーマス・ティーマン「現代カノニカル量子一般相対性理論入門」電子版はgr-qc/0110034として入手可能。 アベイ・アシュテカー『規範重力の新たな展望』ビブリオポリス（1988年）。 アベイ・アシュテカー『非摂動的規範重力講義』ワールドサイエンティフィック（1991年）。 ロドルフォ・ガンビーニ、ホルヘ・プリン『ループ、結び目、ゲージ理論と量子重力』ケンブリッジ大学出版局（1996年）。 ヘルマン・ニコライ、カスパー・ピーターズ、マリヤ・ザマクラク、「ループ量子重力：外部からの視点」、電子版はhep-th/0501114として入手 可能。 「ループとスピンフォーム量子重力：初心者向け簡明ガイド」arXiv:hep-th/0601129 H. ニコライとK. ピーターズ。 エドワード・ウィッテン、「弦理論における量子背景独立性」、電子版は hep-th/9306122 として入手可能。 会議録 ジョン・C・ベイズ（編）、『結び目と量子重力』（1993年）。 |
| https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_loop_quantum_gravity |
History of loop quantum gravity（ループ量子重力論の歴史） |
★なぜ時間は存在しないのか / ジュリアン・バーバー著 ; 川崎秀高, 高良富夫訳, 東京 : 青土社 , 2020.2
ヘ ラクレイトス、パルメニデス、ガリレオ、ニュートン、アインシュタインからジョン・ホイーラー、ロジャー・ペンローズ、スティーヴン・ホーキングまでの時 間の考え方を俯瞰しアインシュタインの唱えた時空連続体の概念に疑念を投げかけ、現代物理学のパラドックスの一つである相対性理論と量子力学のあいだの隙 間を埋め、現代物理学に革命を起こす画期の書。
★時間は存在しない / カルロ・ロヴェッリ著 ; 冨永星訳, 東京 : NHK出版 , 2019.8
時 間はいつでもどこでも同じように経過するわけではなく、過去から未来へと流れるわけでもない—。“ホーキングの再来”と評される天才物理学者が、本書の前 半で「物理学的に時間は存在しない」という驚くべき考察を展開する。後半では、それにもかかわらず私たちはなぜ時間が存在するように感じるのかを、哲学や 脳科学などの知見を援用して論じる。詩情あふれる筆致で時間の本質を明らかにする、独創的かつエレガントな科学エッセイ。
| アナクシマンドロス（古代ギリシャ語: Ἀναξίμανδρος, ラテン文字転写: Anaximandros; 紀元前610年頃 - 紀元前546年）は、古代ギリシアの哲学者。 |
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| 生涯と業績 アナクシマンドロスは、プラクシアデスを父とするミレトスの人で、哲学者。タレス、アナクシメネスと共にミレトス学派（イオニア学派）の代表とされる。タ レスの縁者であり、彼の弟子にして後継者であった。自然哲学について考察し、アルケーを「無限なるもの」（ト・アペイロン）とした（後述#ト・アペイロ ン）。はじめて日時計を使って、夏至・冬至と、春分・秋分を識別したとされる[1]。スパルタで地震が起こることを予言し、実際に地震が起きた、というエ ピソードも伝わる。ギリシア世界で、人が住まっている全地域を地図に描くことを、はじめてなし遂げた。 主要著作に、『自然について』、『大地周航記』、『彷徨わぬ者たち（恒星）について』、『天球論』などがあったとされるが、いずれも現在に伝わっていない[2]。 |
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| 学説 ト・アペイロン 存在するものの元のもの（始源・アルケー）が「無限なるもの」（ト・アペイロン, τὸ ἄπειρον）であることを論じた[3]。著作断片には以下のように記されている。 |
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| 存在する諸事物の元のもの（アルケー）は、無限なるもの（ト・アペイロ
ン）である。……存在する諸事物にとってそれから生成がなされる源、その当のものへと、消滅もまた必然に従ってなされる。なぜなら、それらの諸事物は、交
互に時の定めに従って、不正に対する罰を受け、償いをするからである。 — シンプリキオス、『アリストテレス「自然学」注解』24.13[4] |
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| アナクシマンドロスによれば、始源たる無限なるものは単一であり運動す
るものである。無限なるものから存在する諸事物は生成され、存在する諸事物は無限なるものへと消滅する。ここでの生成消滅は、対立相反しあうものが永遠の
動をつづけながら分離することによるのであり、この円環運動は無限の劫初から行われている。そして人間の営みも存在するものの中に含め、生成消滅を罰と償
いで説明しようとした。 |
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| 宇宙論 アナクシマンドロスの宇宙論も同様な枠組みのもとで展開される。宇宙の生成を遠心分離運動と捉え、あらゆるものが無限に廻り、星や大地もその過程で生成されたとした。 彼の宇宙論には、始まりという概念がなく、万物は無限から生じ常に生成され続ける、という特徴を持っている。まず、永遠なるものから無限の運動の過程で、 熱いもの・冷たいものとを生み出すものが分離した。あらゆる天体は熱いものから分離し、空気に閉じ込められた火の環である。円柱状の大地を取り巻く火の環 には筒状の噴出孔があり、そこから見えるものが天体の姿である。日蝕や月蝕は、その孔が塞がることで起こる。月の満ち欠けも同様である[5]。大地での自 然現象としては、大地が形成された原初の湿った状態が海であり[6]、風は、極めて軽い蒸気が空気から分離することで生じるか、あるいは、蒸気が凝縮する ときに動くことで生じる。雷は、風が雲を引き裂くことで生じ、雨は、大地から蒸発したものが上昇することで起こる[7]。干ばつや雨によって大地に亀裂が 広がると、そこに空気が大量に侵入し、その激しい風により大地が震動し、地震が起こる[8]。生物は湿ったものの中から太陽の蒸発作用によって発生する。 人間は、魚に似た動物から発生した。その魚の中で成長するまで養育され、じきに分裂し、男女として分かれ生きられるようになった。そしてその時初めて陸に 上がったとされる[9]。 現代物理学者であるロヴェッリの評によれば、アナクシマンドロスは「地球」が空に浮いており地球の下側にも空が広がっていること、動物や植物は環境の変化 に対応して進化することなど、現代人に共有されている世界を理解するために必要な基本原理を築きあげたと考えられている[10]。 |
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| 後世への影響 ハイデッガーによると、ソクラテス以前の自然哲学（イオニア学派）についての通説的理解は、哲学の未熟な表現とするものが広く見られるが、そうした通説的 理解には現代的人間の先入観が混入していると指摘する。ここで言う自然についての概念は、現代では製作（ポイエーシス）として理解されるが、本来は存在そ のものとして理解せねばならない[11]。製作とは、人間が自然に手を加えることであり、この自然は、存在と存在者の対比における存在者に区分される。し かし元来、自然とは、存在そのものであり、製作ではなく生成として捉えなければならない、とハイデッガーは考える[12]。 ハイデッガーは、西洋形而上学が誕生する以前の根源的哲学者として、アナクシマンドロスを評価している。そのことは、『形而上学入門』（1953）および 『ヒューマニズムについて』（1947）から窺い知ることができる。『形而上学入門』では、ギリシャ語における自然は、元来、生成や誕生を意味し、自然そ のものを存在として捉えていたが、キリスト教の伝統以降で、神による創造／被創造という製作の観点から語られるようになった、と主張される[13]。 『ヒューマニズムについて』では、自然を製作する技術とは、本来の自然の故郷喪失であり、こうした現代において、自然＝生成という概念を復興させることに よって、ヒューマニズム（人間中心主義）を覆すことが試みられた[14]。 |
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| 脚注 1.^ ディールス & クランツ 1996, p. 161. 2.^ 『スーダ』α 1986 3.^ “デジタル大辞泉の解説”. コトバンク. 2018年8月27日閲覧。 4.^ ディールス & クランツ 1996, p. 181. 5.^ ディールス & クランツ 1996, p. 167. 6.^ ディールス & クランツ 1996, p. 178. 7.^ ディールス & クランツ 1996, p. 168. 8.^ ディールス & クランツ 1996, p. 179. 9.^ ディールス & クランツ 1996, p. 180. 10.^ C・ロヴェッリ『すごい物理学講義』河出書房、2017年、18頁。 11.^ ハイデッガー 1957, pp. 117–118. 12.^ ハイデッガー 1957, p. 98. 13.^ ハイデッガー 1960, p. 22. 14.^ ハイデッガー 1974, pp. 60–61. |
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| 参考文献 ディールス, H、クランツ, W『ソクラテス以前哲学者断片集』岩波書店、1996年。 ディオゲネス・ラエルティオス『ギリシア哲学者列伝（上）』岩波書店〈岩波文庫〉。ISBN 400336631X。 ハイデッガー『アナクシマンドロスの言葉』理想社、1957年。 ハイデッガー『形而上学入門』理想社、1960年。 ハイデッガー『ヒューマニズムについて』理想社、1974年。 |
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